Puisque la question de la concentration a été abordée (tant mieux^^), au niveau maths je ne sais pas à quel niveau tu te situes, a priori universitaire? Je dirais que suivant le degré de compréhension que tu veux acquérir des choses, il y a comme tu le dis plusieurs degrés de lecture d'un cours : en première lecture on peut se contenter des résultats généraux et les considérer comme acquis, de sorte à s'approprier l'usage de l'outil mathématique et sa finalité. En gros, retenir les résultats des théorèmes et propriétés pour les réutiliser par la suite.
Ensuite, il est souhaitable (mais souvent moins facile), de comprendre pourquoi et comment ceux-ci fonctionnent, c'est là qu'intervient la compréhension des démonstrations. Et là aussi il y a deux degrés : en premier il faut s'imprégner de "l'esprit" de la démonstration (quelle est l'idée générale : un raisonnement déductif, par l'absurde, par récurrence, par disjonction de cas, par étude de cas, par analyse-synthèse...), et ensuite seulement on peut se pencher sur le détail de chaque étape de raisonnement. Et déjà, comprendre les tenants et aboutissants de chaque type de raisonnement est un sérieux pas en avant.
Par exemple, on peut très bien savoir calculer des intégrales sachant que cela se fait à l'aide de primitives, mais c'est d'autant mieux de comprendre qu'il s'agit de sommations continues de longueurs qui débouchent non plus sur une longueur mais sur une aire*. Dans le même domaine, on peut apprendre par cœur la formule donnant l'espérance d'une variable aléatoire continue et la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle* mais on peut aussi chercher à comprendre pourquoi c'est la même chose, et au moins à l'aide d'une représentation graphique comprendre son sens réel en termes de probabilités.
D'autre part, ce qui m'a aidé et m'aide actuellement à transmettre les notions, c'est d'utiliser à côté du formalisme mathématique, des reformulations en français, des diagrammes, des interprétations graphiques etc. pour faire appel aux différents angles d'appréhension (mathématiques et intellectuels) d'une notion. On peut très bien utiliser sans plus d'approfondissement le fait qu'une dérivée positive équivaut à une fonction croissante et inversement, on peut aussi comprendre que ce qui se cache derrière est la qualité des accroissements de la fonction, donc des coefficients directeurs des tangentes à la courbe de celle-ci*. Idem encore pour la
continuité d'une fonction en un point, la reformulation "Cela veut dire que si l'on se fixe un seuil ε, même très proche de 0, on peut trouver un intervalle autour de a tel que f(x) soit à une distance inférieure à ε de f(a), " m'a vraiment aidé à comprendre l'ésotérique "∀ε>0…" même si en pratique j'avais appris à le déchiffrer.
Pour ce qui est de l'esprit des démonstrations, c'est souvent le plus dur à saisir car c'est généralement du cas par cas. Quelques grandes lignes peuvent toutefois s'entrevoir* : si un résultat paraît évident, alors un raisonnement par l'absurde est souvent une bonne idée pour démarrer ; en arithmétique ou en suites, un raisonnement par récurrence peut se tenter ; pour montrer une égalité de deux ensembles, une double inclusion est souvent de mise ... sinon le raisonnement déductif est généralement utilisé (j'ai pour hypothèses H
1 H
2 H
3, avec mes connaissances j'en déduis D
1 D
2 D
3, etc. et moyennant un nombre d'étapes plus ou moins complexes j'en déduis mon résultat).
C'est là que les maths puisent leur complexité, c'est que la résolution de problèmes à tous niveaux dépend des outils dont l'on dispose, de leur maîtrise et surtout de l'intuition que l'on a des dits problèmes afin de choisir la bonne direction. Et l'intuition, c'est le facteur sur lequel on a le moins de prise. Ça se travaille en étudiant d'autres démonstrations mais c'est tout l'enjeu justement en maths et c'est, suivant le degré de complexité, propre à chacun. Ceci étant, le dénominateur commun (haha) de tout théorème, ce sont ses hypothèses. Et il est fondamental d'en déduire tout ce que l'on peut de celles-ci avant de démarrer toute démonstration.
*vulgarisations à la hache, mais certainement suffisantes ici pour l'exemple.
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