[QALC] Question pour nos éminents mathématiciens

[Swinn]

Voici un petit problème de math dont je ne parviens pas à trouver la solution mes souvenirs étant trop parcellaires et lointains.
Il n' y a aucun piège ( du moins je le crois ) , j'ai juste besoin de la réponse.

Considérons un cercle.

Je voudrais diviser sa circonférence en 10 segments de taille croissante.

Supposons que le premier segment corresponde par exemple à un angle de 5 °, quelle serait la taille des 9 autres segments sachant que ceux ci doivent croitre de façon régulière.

Ce qui m' intéresse surtout ici ce n' est pas la taille finale du dernier segment mais la croissance et sa régularité en elle même.
Quelle serait la formule mathématique qui, en faisant varier l' angle de départ et la rapidité de la croissance, me permettrait d'obtenir une croissance régulière et sur chacun des autres segments.
Il s' agirait plus d' une croissance arithmétique que géométrique, celle ci se devant d' être "lente".

J' espère que ma question est bien posée, et je remercie d' avance tous les mathématiciens qui voudront bien accorder un peu de leur temps à la résolution de ce problème.

[Fu]

Je ne connais pas de formule pour ça, non mathématicien que je suis, mais ça me fait penser à vitesse, distance et accélération. Sauf qu'ici c'est en degrés par seconde au lieu de mètres par seconde, et la distance est un angle total de 360°.

[1] distance = vitesse * temps
[2] vitesse = accélération * temps

La distance totale, c'est 360°. Le temps est peu important, on peut choisir la valeur que l'on veut mais pour simplifier mettons qu'il faut une seconde pour arriver aux 360°. Si dans la formule [1] on remplace la vitesse par son équivalent donné par la formule [2] :

[1] distance = accélération * temps²

Soit, avec distance = 360° et temps = 1 :

[1] accélération = 360

Ce qui est important, c'est de savoir de combien on avance à chaque étape. Tu peux fixer le nombre d'étapes que tu veux, appelons-le n (entier et plus grand que zéro, par commodité ). À chaque étape, le temps avance d'un n-ième de seconde. Pour calculer l'angle de chaque segment, tu fais évoluer ton temps de 0 à 1 (le temps que l'on s'est fixé pour arriver à 360°) par incréments de 1/n, soit la formule :

[1] angle = 360 * t², pour t allant de 0 à 1 par pas de 1/n, n étant le nombre d'étapes

Par exemple avec n = 10, à chaque étape le temps avance de 0.1 seconde et l'angle augmente de 3.6° par rapport au précédent :

t = 0.0, angle = 0.0
t = 0.1, angle = 3.6
t = 0.2, angle = 14.4
t = 0.3, angle = 32.4
t = 0.4, angle = 57.6
t = 0.5, angle = 90.0
t = 0.6, angle = 129.6
t = 0.7, angle = 176.4
t = 0.8, angle = 230.4
t = 0.9, angle = 291.6
t = 1.0, angle = 360.0

Si tu veux fixer l'angle de départ à une valeur donnée, ça se complique un peu :

► Afficher le texte

Si tu veux fixer l'angle de départ à une valeur donnée, disons D, alors il faut calculer une vitesse de départ telle que le premier angle donné par la formule vaudra D. La formule [1] devient, avec la vitesse initiale V0 et toujours en considérant que l'on met une seconde :

[1bis] distance = (V0 + (360 - V0) * t) * t

Et pour calculer V0 afin que la toute première distance (quand t vaut 1/n) soit égale à D, on utilise une nouvelle formule :

[3] D = (V0 + (360 - V0) * 1/n) * 1/n

Soit, en isolant V0 :

[3] V0 = (D * n - 360/n)/(1 - 1/n)

Par exemple pour avoir un premier angle qui vaut 5° et dix étapes (D=5, n=10), avec la formule [3] on calcule que V0 vaut 14/.9, puis on utilise la formule [1bis] pour trouver :

t = 0.0, angle = 0.0
t = 0.1, angle = 5.0
t = 0.2, angle = 16.9
t = 0.3, angle = 35.7
t = 0.4, angle = 61.3
t = 0.5, angle = 93.9
t = 0.6, angle = 133.3
t = 0.7, angle = 179.7
t = 0.8, angle = 232.9
t = 0.9, angle = 293.0
t = 1.0, angle = 360.0

Je t'ai fait une page web qui fait ces calcul en direct et affiche la forme résultante (testée sous Firefox et Chrome, ne fonctionne sans doute pas avec Edge/Internet Explorer).

[Dark Vadrouille]

Aime Inan,
Mât, thème à Titien

Cela ne veut strictement rien dire, mais je n'avais strictement rien capté à l'énoncé, j'ai lu trop vite et ai failli te dire bêtement de diviser 360° par 10 afin d'obtenir 10 arcs constants.

Heureusement Fu est passé par là, a répondu avec brio, tout en chassant mon ignorance.

[Swinn]

Alors là Fu !!!!

Je te tire mon chapeau bravo !

Merci à toi aussi bien pour le raisonnement que pour le calculateur de segments

[Miss souris]

Et, minant,
mate, et mate,
l' p'tit chien...

chuipulà ...

[Fu]

De rien Swinn !
Cependant, avec la formule [1], je remarque que la croissance entre t=0 et t=0.1 est deux fois moindre qu'entre les autres segments (3.6 au lieu de 7.2), et je ne m'explique pas pourquoi. J'ai peut-être fait une erreur.

[Swinn]

Ce que tu dis est exact, je ne suis pas parvenu moi non plus à expliquer pourquoi la première accélération est deux fois plus faible que les suivantes.

Peut être que l'intuition comme pour Andrew Wiles, en toute modestie bien sûr arrivera bientôt !

[Fu]

Décidément je ne vois pas ce qui cloche. En révisant un peu, la relation entre distance (d), temps (t) et accélération constante (a) est :

d = 0.5 * a * t²

Il manque ce facteur 0.5 dans mon calcul mais ça ne change rien au problème de la première accélération qui est trop petite.

Bon, on va faire les choses autrement : j'ai révisé les suites. À chaque segment on ajoute une valeur fixe a, et la somme des n segments vaut 360. Cela revient à faire la somme de 1 à n et à la multiplier par a. La somme de 1 à n vaut :

n.(n+1)/2

Donc on cherche a tel que :

a.n.(n+1)/2 = 360
a = 720/n(n+1)

Il n'y a plus qu'à calculer l'angle de chaque segment s avec la formule :

angle = 360 × s.(s+1)/n(n+1), s allant de 1 à n

J'ai fait un nouveau script, ça fonctionne bien à présent.

[Swinn]

Fu t' es un chef !

Merci pour tout, peu de temps je regarde cela de façon plus approfondie cet après midi

[Fu]

C'est corrigé, j'avais oublié d'intégrer l'angle de départ d. Le script est à jour, et la nouvelle formule est :

angle = s.d + (360-n.d).s.(s-1)/(n.(n-1))

n = nombre de segments
d = angle de départ
s = segment actuel, de 1 à n

Avec un angle de départ de 5° et 10 segments, il faut ajouter environ 6.8889° à chaque nouvel angle.

[Dark Vadrouille]

Cela donne un écart constant du coup si je saisis bien cet ajout de 6,8889° ?

[Fu]

C'est ça, ce nombre représente la croissance régulière que cherchait Swinn : 5°, 11,89°, 18,78°, 25,67°, 32,56°, 39,44°, 46,33°, 53,22°, 60,11° et 67°. Leur somme fait 360°.

[Dark Vadrouille]

Les angles que tu donnes sont les valeurs des écarts et non les angles eux-mêmes (leur position) ?

[Fu]

J'ai modifié le script pour afficher les angles sur les secteurs, en espérant que ce soit plus clair. Je donne donc l'angle de chacun des secteurs (le premier en haut fait 5°, le suivant 11,88°, etc.) et, à droite de la page, l'angle absolu par rapport à la position de départ, pour éviter de cumuler les erreurs d'imprécision. C'est plus facile à lire si tu mets l'angle de départ à 0 et le nombre de segments à 9 ou 15 : la progression arithmétique est alors beaucoup plus lisible.

[Dark Vadrouille]

En allant sur le script et en rentrant les valeurs c'est plus clair.
J'étais en train de dessiner des graphes, une avec une droite partant de 0 dû à une croissance constante et l'autre en courbe pour montrer la croissance.

Mais ça n'enlève rien au fait que je n'arrive pas à retranscrire en fonction cette courbe ^^

[Fu]

Tu peux la tracer sous un tableur. On voit la taille des secteurs augmenter de façon linéaire, et la somme des tailles des secteurs augmenter de façon exponentielle. La formule que j'ai fournie donne la somme des secteurs jusqu'au secteur courant, pour trouver la taille de ce dernier il suffit de soustraire la somme que l'on avait au secteur précédent. Par exemple, ligne 5, la somme fait 45, elle valait 30 à la ligne précédente, donc la taille du secteur 5 est de 45-30. C'est vraiment comme une vitesse avec une accélération continue, et je suis déçu que mon premier essai en suivant cette approche n'ait pas fonctionné.

[Swinn]

Tu peux la tracer sous un tableur. On voit la taille des secteurs augmenter de façon linéaire, et la somme des tailles des secteurs augmenter de façon exponentielle.

C'est la base de ton raisonnement de départ avec une vitesse fixe linéaire et une accélération correspondant à l'accroissement exponentielle de la taille des secteurs.

[Dark Vadrouille]

C'est tout à fait ça, j'ai essayé 5 minutes de faire un graphe sur Word mais je n'ai pas eu le temps de terminer (et puis je savais parfaitement ce que je voulais avoir comme rendu, je l'avais dessiné à la main).

[ouadji]

La solution de Fu est astucieuse ...
J'avais pensé à ceci, sans trop approfondir celle de Fu ... mais à y regarder de plus près, elle sont très proches

posons les 10 segments "Seg" de Seg0 à SegN (N=9) avec Seg0=5 ; Posons l'accroissement Δ.
360 = (10*5) + (1+2+ ... +n)*Δ = 50 + 45Δ
d'où Δ = (360-50) /45 = 62/9 ≈ 6,88

résultats: 5 ; 11,88 ; 18,77 ; 25,66 ; 32,55 ; 39,44 ; 46,33 ; 53,22 ; 60,11 ; 67
soit en absolu: 5 ; 16,88 ; 35,66 ; 61,33 ; 93,88 ; 133,33 ; 179,66 ; 232,88 ; 293 ; 360

soit exactement les mêmes résultats que Fu

[Fu]

Simple et efficace, bravo.

[ouadji]

Et bien la tienne n'était pas mal non plus ... une pirouette qui ne me serait jamais venue à l'esprit.
Respect à toi Fu.

[Swinn]

Belle solution Ouadji merci

[Bulle d'o]

Oh yipiyeeeeaaahhh, vous avez relancé un de mes topics chouchou/préféré! Mais je suis super déçue car je croyais que vous aviez mis une seconde question et fait un second debat.

Et que nenni, pas de nouvelles lectures incompréhensibles pour moi.

Decue mais decue !

[Fu]

Ben t’as qu’à poser une question.