C'est une question assez difficile à résoudre, à laquelle beaucoup se sont attelés, et qui a des implications dans la vie de tous les jours.
Par exemple, pour contester un jugement, il faut en comprendre le langage démonstratif logique, avec les hypothèses apportées (attendus) et les conclusions qui en découlent.
Pour formuler un "algorithme" ou un problème mathématique, dans l'absolu il faut être capable de le décomposer correctement en "logique formelle".
Ce qu'on appelle "procédure" en général est par ailleurs simplement un algorithme, savoir "parler procédure" aide parfois à les débloquer administrativement.
Hors-sujet
Si je prends le temps d'écrire tout cela, ce n'est pas pour étaler ma science, c'est qu'encore une fois j'ai tendance à me répéter sur le sujet.
Au bout du compte, quand on se pose la question "d'où vient et où va un raisonnement", et si besoin "où est-ce qu'il cloche" sans l'ombre d'un doute, c'est utile.
Je profite de ce offtopic pour demander à ceux qui me surclassent sur le sujet de me corriger, merci d'avance.
La j'essaie de survoler, mais c'est exactement le genre de sujet que l'on vous cogne dans le crane au marteau piqueur en début d'études mathématiques post lycée
Au bout du compte, quand on se pose la question "d'où vient et où va un raisonnement", et si besoin "où est-ce qu'il cloche" sans l'ombre d'un doute, c'est utile.
Je profite de ce offtopic pour demander à ceux qui me surclassent sur le sujet de me corriger, merci d'avance.
La j'essaie de survoler, mais c'est exactement le genre de sujet que l'on vous cogne dans le crane au marteau piqueur en début d'études mathématiques post lycée
Le but, c'est de pouvoir réduire toute "proposition" à "vrai" ou "faux" en la déconstruisant à l'extrême ; ce qui, de façon admissible, n'est possible que de proche en proche, et pas en cas général.
Par exemple, l'axiome
peut être formellement écritPar deux points passent une seule droite.
mais pas que, il existe d'autres formulations tout aussi vraies dans le même contexte (ici le contexte est "Espace vectoriel", une spécialisation d'un "corps"), fausses dans d'autres.Géométrie Vectorielle a écrit : En géométrie vectorielle, une droite vectorielle est un espace vectoriel de dimension 1.
Si v est un vecteur non nul, la droite vectorielle engendrée par v est l'ensemble des vecteurs w pour lesquels il existe un scalaire k (un réel pour un espace vectoriel sur ℝ) k tel que
w = k fois v
On dit alors que les vecteurs v et w sont colinéaires.
Les termes et les usages de ces formulations sont très liés aux mathématiques, qui en ont un besoin vital. Mais ne vous laissez pas arrêter, ils sont simplement la "formalisation" de tout raisonnement logique.
Partons du "syllogisme"
La syllogistique va trouver un jour ses limites, jusqu'à être tournée à l'absurde par Eugène Ionesco (Rhinocéros)(qu'il faut que je relise quand je scanne le résumé).Wikipedia a écrit :En logique aristotélicienne, le syllogisme est un raisonnement logique à deux propositions (également appelées prémisses) conduisant à une conclusion qu'Aristote a été le premier à formaliser. Par exemple, Tous les hommes sont mortels, or Socrate est un homme donc Socrate est mortel est un syllogisme ; les deux prémisses (dites « majeure » et « mineure ») sont des propositions données et supposées vraies, le syllogisme permettant de valider la véracité formelle de la conclusion. La science des syllogismes est la syllogistique, à laquelle, entre autres, se sont intéressés les penseurs de la scolastique médiévale, mais aussi Antoine Arnauld, Gottfried Leibniz, Emmanuel Kant, et Émile Durkheim1. Elle est l'ancêtre de la logique mathématique moderne et a été enseignée jusqu'à la fin du XIXe siècle.
Mais c'est un des outils qu'on utilisés la plupart des philosophes jusque là
En décomposant par exemple "Tous les hommes sont mortels", il faut d'abord constater qu'il y a un "groupe" (les hommes) et un "individu" (Socrate).
Le groupe dispose d'une propriété, et si l'individu est membre du groupe, alors il acquiert cette propriété.
Essayons de reformuler ça de façon plus "carrée"
Hypothèse 1 : Quelque soit l'élément appartenant à l'ensemble "hommes", "élément implique mortel" est vrai
Hypothèse 2 : Socrate appartient à l'ensemble "hommes"
Conclusion : Si hypothèse 1 est vraie ET hypothèse 2 est vraie alors "Socrate implique mortel" est vrai
Il y a beaucoup de mots qui prennent un sens strict si on les manipule bien, et ce sont ces "bases" que je vais essayer de développer ci dessous
L'hypothèse - la proposition
L'hypothèse, qu'en formulation de tous les jours on introduit systématiquement par un "Si" est appelée formellement "proposition".
Une proposition, c'est la "formulation affirmative" d'une question fermée, c'est à dire une question à laquelle on répond par "oui" ou "non".
"Si X est un garçon" correspond à "X est il un garçon". La réponse est oui ou non, la proposition est donc soit exclusivement vraie, soit exclusivement fausse (pas "vraie et fausse", pas "ni vraie ni fausse").
Cas particulier : une proposition "toujours vraie" (par exemple "la vitesse de la lumière est la limite absolue en mécanique relativiste") est appelée "axiome".
1, par exemple, de façon générale, c'est assez axiomatique (je serais même incapable de vous en donner une définition)
Les ensembles
Alors là, je rentre pas dans le détail, parce qu'il y en a pour des années.
Commençons par les choses simples. Roger et Catherine, deux éléments, c'est un ensemble.
Les "entiers", c'est à dire les nombres 1,2,3,4,5,... jusqu'à l'infini sont un ensemble (qui est déjà très particulier).
On continue à parler d'ensemble quand il n'y a qu'un élément, on parle alors de singleton (et par exemple 1 est équivalent au singleton {1}).
Et même quand il n'y a plus d'élément, on parle alors d'ensemble vide (NULL pour le reste de mon propos).
On appelle "univers" le plus grand ensemble conçu dans un problème à plusieurs ensembles.
Formulé par le grand génie qui a beaucoup réfléchi là dessus
Quand tous les éléments d'un ensemble A sont également des éléments d'un ensemble B on dit que A est inclus dans B.Cantor a écrit :« Par ensemble, nous entendons toute collection M d'objets m de notre intuition ou de notre pensée, définis et distincts, ces objets étant appelés les éléments de M »
Car particulier : un singleton "appartient" à un autre ensemble
Le singleton "Socrate" est inclus dans/appartient à l'ensemble "Hommes".
Exister, c'est ne pas être inclus dans l'ensemble vide.
L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments inclus à la fois dans A et dans B.
Une intersection entre deux ensembles peut être NULL.
Deux ensembles A et B sont dits "égaux" si A est inclus dans B ET B est inclus dans A.
Dans le langage courant, maitriser ces quelques éléments permet de démonter certaines "logiques infaillibles".
Par exemple
"Les roms et les roumains c'est la même chose" se démonte facilement si on trouve un rom non roumain (ce qui veut dire que "roms" n'est pas inclus dans roumains"), ou un roumain non rom.
Pour revenir sur le fait que, par exemple, l'ensemble des "entiers" est très particulier, il faut comprendre que certains ensembles sont définis par leurs "propriétés", et certains par le "constat de leurs éléments".
"Mes camarades de classe", on peut le prendre de deux façons : lister un par un les gens de la classe (en espérant qu'ils soient tous présents), ou dire que c'est l'ensemble définit par l'intersection des ensembles "Eleves de mon lycee", "Eleves de mon grade" (des fois ça suffit), "Eleves dont le numéro de classe (1,2,3...) est le même que la mienne".
La première approche s'intéresse plus aux éléments, l'autre en apprend plus sur les "propriétés".
Mieux des fois à l'aide des propriétés on découvre de nouveaux éléments ; on s'intéresse par exemple à démontrer des propriétés sur l'ensemble des nombres premiers qui permettraient d'en découvrir d'autres.
A l'aide de nouveaux éléments, on peut également trouver de nouvelles propriétés : c'est comme ça que, petit à petit, l'ensemble des "entiers" a été abordé de façon de plus en plus abstraite de proche en proche.
Enoncer une propriété pour un ensemble, formellement ça donne
"Quel que soit l'élément M de l'ensemble E, alors Propriété"
Attention donc en particulier à ne pas mélanger les ensembles pour ne pas prêter de mauvaises propriétés
"La misère créer du crime, donc les roms qui vivent dans la misère sont des criminels"
doit se lire
Hypothèse 1 : L'ensemble définit par l'intersection entre l'ensemble miséreux et l'ensemble criminels existe est loin d'être nul.
Hypothèse 2 : L'ensemble 'roms' est inclus dans l'ensemble miséreux
La conclusion ne saurait être "les roms sont des criminels".
La conclusion acceptable est "il existe peut être des roms qui appartiennent à l'ensemble 'criminels'
Il faut ensuite prouver l'existence d'un singleton {rom} inclus dans criminels.
Mais laissons là un instant les ensembles.
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Retenez : deux ensembles ne sont égaux que s'ils sont mutuellement inclus, qu'il n'existe aucun élément de l'un qui ne soit pas dans l'autre, aucun élément de l'autre ne soit pas dans l'un, sans exception.
Autre formulation, deux ensembles sont égaux s'ils sont tous les deux inclus dans leur intersection.
ET/OU/NON Les opérateurs logiques
Les opérateurs logiques sont des mots que l'on peut mettre entre les propositions pour les lier.
Il y en a beaucoup, mais généralement on en utilise 3, qui sont et, ou, et non (pas).
Par défaut, on utilise "Et" partout, comme lien entre les hypothèses.
Cela signifie que pour que la proposition fonctionne, toutes les hypothèses liées par "ET" doivent être vraies. Si l'une ou l'autre est fausse alors la proposition est fausse.
Cas pratique : pour casser un jugement, il faut prouver qu'une des hypothèses (un des "attendus") est fausse ou qu'elle est mal comprise (donc fausse pour la conclusion).
Le "ou" à l'inverse ne nécessite que la vérité d'une hypothèse entre toutes celles liées par OU.
ET a priorité sur OU de la même façon que X est prioritaire sur + dans les calculs.
Donc ne signifie pas la même chose que .
Dans le premier cas, on vérifiera que A et B soient vrais, ou bien que C soit vrai, dans le second, on vérifiera que A est vrai, et que B ou C est vrai (ce qui est plus restrictif, dans le premier cas, il suffit que C soit vrai)
NON est le plus simple à comprendre. En introduisant une hypothèse par "non" ou "pas", alors il faut que l'hypothèse introduite soit fausse pour que la proposition introduite par NON soit vraie.
NON faux = vrai.
L'inférence logique
Pour résumer, l'inférence c'est ce qu'on appelle le "si... alors...".
Soient deux propositions A et B, "Si A est vrai alors B est vrai" peut se lire que
* A implique B, A est condition suffisante pour B
* B nécessite A, B est condition nécessaire pour A
On dit que deux propositions sont équivalentes quand A implique B et B implique A.
Il y a "condition nécessaire et suffisante".
Parfois, il est plus facile de démontrer l'inverse d'une proposition par l'inverse, ce que l'on appelle "la contraposée".
Mais attention,
si
A => B
alors la contraposée est
NON B => NON A
(chose facile à se rappeler à travers "nécessaire" et "suffisant")
Pour approfondir
https://openclassrooms.com/courses/intr ... thematique
Autre formulation, deux ensembles sont égaux s'ils sont tous les deux inclus dans leur intersection.
ET/OU/NON Les opérateurs logiques
Les opérateurs logiques sont des mots que l'on peut mettre entre les propositions pour les lier.
Il y en a beaucoup, mais généralement on en utilise 3, qui sont et, ou, et non (pas).
Par défaut, on utilise "Et" partout, comme lien entre les hypothèses.
Cela signifie que pour que la proposition fonctionne, toutes les hypothèses liées par "ET" doivent être vraies. Si l'une ou l'autre est fausse alors la proposition est fausse.
Cas pratique : pour casser un jugement, il faut prouver qu'une des hypothèses (un des "attendus") est fausse ou qu'elle est mal comprise (donc fausse pour la conclusion).
Le "ou" à l'inverse ne nécessite que la vérité d'une hypothèse entre toutes celles liées par OU.
ET a priorité sur OU de la même façon que X est prioritaire sur + dans les calculs.
Donc
Code : Tout sélectionner
A et B ou CCode : Tout sélectionner
A et (B ou C)Dans le premier cas, on vérifiera que A et B soient vrais, ou bien que C soit vrai, dans le second, on vérifiera que A est vrai, et que B ou C est vrai (ce qui est plus restrictif, dans le premier cas, il suffit que C soit vrai)
NON est le plus simple à comprendre. En introduisant une hypothèse par "non" ou "pas", alors il faut que l'hypothèse introduite soit fausse pour que la proposition introduite par NON soit vraie.
NON faux = vrai.
Hors-sujet
Pour l'instant, on reste à la base, parce qu'il y a pas mal de petites astuces sur l'utilisation des opérateurs logiques...
Pour résumer, l'inférence c'est ce qu'on appelle le "si... alors...".
Soient deux propositions A et B, "Si A est vrai alors B est vrai" peut se lire que
* A implique B, A est condition suffisante pour B
* B nécessite A, B est condition nécessaire pour A
On dit que deux propositions sont équivalentes quand A implique B et B implique A.
Il y a "condition nécessaire et suffisante".
Parfois, il est plus facile de démontrer l'inverse d'une proposition par l'inverse, ce que l'on appelle "la contraposée".
Mais attention,
si
A => B
alors la contraposée est
NON B => NON A
(chose facile à se rappeler à travers "nécessaire" et "suffisant")
Pour approfondir
https://openclassrooms.com/courses/intr ... thematique
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