Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Hors-sujet
Bien qu'ayant raté mon bac avec 3 en math (puis 10 l'année d'après, notez la belle progression ), cette discussion n'est pas complètement inaccessible pour les non-initiés (enfin quelques trucs restent en suspens hein, comme le O/o, ou le {doigt main pied } et d'autres trucs que j'oublie surement), et ça donne même le goût de s'y replonger. C'est toujours passionnant de lire des passionnés. On ne peut jamais savoir quel est le niveau de celui qui lit...
Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Demat d'an holl, kalz startijenn a zo ganin ha fellout a rae din respont un dra bennak a-fed ar jedionerezh. Emichañs e vo mat tout an draoù ^ ^
[pas de panique, je continue en français ^ ^]
Dès que l'on aborde l'ontologie des mathématiques, il convient - à mon sens - de rappeler qu'il existe plusieurs écoles aux conceptions très différentes :
- le réalisme
- le formalisme
- le logicisme
- le constructivisme
- l'intuitionnisme.
Merci à la wikipédia, je ne les connaissais pas par coeur !
Il existe toujours des personnes pour dire qu'elle n'aime pas telle branche, que ça c'est pas beau, que ceci ne sert à rien, mais bon, faire des mathématiques sans se pencher sur les mécanismes de pensée qui ont conduit à leur élaboration, me semble assez sidérant (et pourtant, nombre de matheux s'assient dessus à longueur de journée). Sauf si erreur de ma part, c'est Hilbert qui a tenté d'harmoniser la logique avec les mathématiques, et c'est Cantor qui a proposé les premiers axiomes comme fondation de N (l'ensemble des nombres entiers). Les problématiques que cela a suscité sont donc très récentes. La base axiomatique que nous utilisons aujourd'hui est celle de Zermelo-Fraenkel, jugée la plus pratique, mais jugé également contradictoire. Je suppose que c'est en partie cela qui conduira un certain Gödel à écrire son théorème d'incomplétude.
Donc les questions de fond restent philosophiques / logiques. On ne fait pas d'expériences en mathématiques, on fait des démonstrations, il n'y a pas besoin de "réel". C'est la raison pour laquelle le caractère scientifique des mathématiques a déjà été débattu (et par les plus grands). Les mathématiques ne restent pas moins le socle des sciences modernes. Je pense que, en fonction de l'école à laquelle nous appartenons, les réponses seront très différentes. Sans une longue démonstration, il me semble impossible de juger la pertinence d'une position plutôt qu'une autre. Je peux toutefois apporter un point de vue argumenté, sur la base de cette prémisse : les mathématiques sont de la métaphysique (je ne débattrai pas là-dessus par manque de temps). Donc :
De conclure, dès que l'on parle d'ontologie de quelque chose, il faut toujours s'attendre à des paradoxes avec le réel (pour caricaturer, c'est la fameux débat opposant Héraclite et Parménide), le tout est de savoir sur quelle base on se positionne ; )
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Dès que l'on aborde l'ontologie des mathématiques, il convient - à mon sens - de rappeler qu'il existe plusieurs écoles aux conceptions très différentes :
- le réalisme
- le formalisme
- le logicisme
- le constructivisme
- l'intuitionnisme.
Merci à la wikipédia, je ne les connaissais pas par coeur !
Il existe toujours des personnes pour dire qu'elle n'aime pas telle branche, que ça c'est pas beau, que ceci ne sert à rien, mais bon, faire des mathématiques sans se pencher sur les mécanismes de pensée qui ont conduit à leur élaboration, me semble assez sidérant (et pourtant, nombre de matheux s'assient dessus à longueur de journée). Sauf si erreur de ma part, c'est Hilbert qui a tenté d'harmoniser la logique avec les mathématiques, et c'est Cantor qui a proposé les premiers axiomes comme fondation de N (l'ensemble des nombres entiers). Les problématiques que cela a suscité sont donc très récentes. La base axiomatique que nous utilisons aujourd'hui est celle de Zermelo-Fraenkel, jugée la plus pratique, mais jugé également contradictoire. Je suppose que c'est en partie cela qui conduira un certain Gödel à écrire son théorème d'incomplétude.
Donc les questions de fond restent philosophiques / logiques. On ne fait pas d'expériences en mathématiques, on fait des démonstrations, il n'y a pas besoin de "réel". C'est la raison pour laquelle le caractère scientifique des mathématiques a déjà été débattu (et par les plus grands). Les mathématiques ne restent pas moins le socle des sciences modernes. Je pense que, en fonction de l'école à laquelle nous appartenons, les réponses seront très différentes. Sans une longue démonstration, il me semble impossible de juger la pertinence d'une position plutôt qu'une autre. Je peux toutefois apporter un point de vue argumenté, sur la base de cette prémisse : les mathématiques sont de la métaphysique (je ne débattrai pas là-dessus par manque de temps). Donc :
Métaphysique <=Kant classe les mathématiques dans les connaissances a priori, c'est-à-dire qu’il n’est ni possible ni nécessaire d’en justifier les propositions par l’expérience sensible. Cependant, si elles n’existent pas sur le plan de l’expérience (ou si elles sont indépendantes de l’expérience) alors sur quel plan existent-elles ?
Le problème selon moi est que tu passes par une logique spatiale, tu te fais une représentation en 3D des mathématiques, ce qui est incohérent si l'on pense le nombre comme une essence (Platon e-barzh / inside). Le nombre garde ses propriétés, son utilisation dans un cadre "réel" n'y change rien.Il semble d'après cet exemple que les propriétés d'un ensemble infini de nombres sont bien différentes de celles d'un ensemble fini de nombres. Cependant, il me semble que tout ensemble mathématique est infini et les seuls exemples d'éléments dénombrables sont des exemples "physiques", des objets du mondes que l'on compte, par exemple des chambres d'hôtels dans un hôtel réel.
L'espace est lié au temps, toute logique séquentielle se pose dans la durée, ce qui conditionne une certaine vision/conception des mathématiques. Les bases mathématiques, les conventions, les systèmes et les séquences sont juste des grilles de lecture qui nous permettent d'avoir une application concrète des mathématiques, dans l'espace-temps, dans un univers en 3D. Si on pense une essence mathématique, cela se fait en dehors de la caverne. L'aspect métaphysique des maths est souvent zappée, mais c'est pourtant elle qui conditionne tout le reste (pour peu que l'on soit idéaliste) ^^Si on transpose le problème à une infinité d'éléments dénombrables, par exemple une séquence infinie de boules (ou de n'importe quoi de physique), j'arrive à comprendre qu'il y en ait une infinité et que chacune d'elle demeure "ce qu'elle est", c'est à dire cette boule et pas une autre.
Mais pour les nombres, je n'arrive pas à voir de propriétés intrinsèques qui les distinguent dans le cadre d'une séquence infini et abstraite.
Le nombre ne peut pas être pensé indépendamment de la structure à laquelle il appartient (je pense notamment aux bases mathématiques). Mais une fois que cela est fait, les propriétés des nombres ne sont pas une invention, seules nos conventions d'écriture le sont (et sont par conséquent contingentes).J’ai du mal à concevoir l’ontologie des mathématiques, si tant est qu’il y en ait une. Tu dis que les nombres n’ont que la propriété qu’on leur attribue, mais ça voudrait donc dire qu’ils n’ont pas de propriétés intrinsèques ? Je sais que d’une certaine manière les mathématiques sont une construction, cependant quelque chose comme « 2+2=4 » est toujours vrai, comment est-ce possible ? Comment est-il possible que cet outil soit régi par des lois et des axiomes si les nombres n’ont pas en eux-mêmes de propriétés.
De conclure, dès que l'on parle d'ontologie de quelque chose, il faut toujours s'attendre à des paradoxes avec le réel (pour caricaturer, c'est la fameux débat opposant Héraclite et Parménide), le tout est de savoir sur quelle base on se positionne ; )
- domisud
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Il me semble évident que ce que demande l'aubergiste est impossible puisque la situation "toutes les chambres sont occupées par l'occupant de la chambre précédente" ne peut pas être atteinte. Il faudrait qu'au moins une chambre soit vide pour que l'occupant de la chambre précédente puisse s'y installer. Hors, elles sont toutes occupées dès le départ.Un hôtel imaginaire possède un nombre infini de chambres, toutes occupées, numérotées de 1 à +infini. Un touriste arrive et demande une chambre. Pas de problème dit l'aubergiste, et il demande à l'occupant de la chambre 1 d'aller dans la chambre 2, à l'occupant de la chambre 2 d'aller dans la chambre 3, etc. Ainsi la chambre 1 est libre pour le touriste et l'hôtel est à nouveau occupé.
Le paradoxe n'existe donc pas et la suite du problème est sans objet.
Le non-verbal par clavier, c'est pour bientôt ?
Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
S'il existe une infinité de chambres, il n'est pas illogique de demander à l'occupant de la chambre 1, d'aller à la chambre 2, et ce, jusqu'à l'infini. Rien n'empêche de faire cela. Cela provoquera juste une réaction en chaîne jusqu'à l'infini. Il est certain que si une chambre était vide, nous n'aurions pas cette réaction en chaîne, mais que cette dernière ait lieu, n'invalide pas pour autant le problème tel qu'il est présenté.domisud a écrit :Il me semble évident que ce que demande l'aubergiste est impossible puisque la situation "toutes les chambres sont occupées par l'occupant de la chambre précédente" ne peut pas être atteinte. Il faudrait qu'au moins une chambre soit vide pour que l'occupant de la chambre précédente puisse s'y installer. Hors, elles sont toutes occupées dès le départ.
Le paradoxe n'existe donc pas et la suite du problème est sans objet.
- domisud
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
L'infini ne pouvant être atteint, la "réaction en chaîne" ne se terminera jamais. Ou alors dans un temps... infini
Pour déplacer tous les occupants d'une case, il FAUT qu'au moins une chambre soit vide ce qui est contraire au postulat de départ.
On cherche une solution à un problème dont l'énoncé est faut.
Pour déplacer tous les occupants d'une case, il FAUT qu'au moins une chambre soit vide ce qui est contraire au postulat de départ.
On cherche une solution à un problème dont l'énoncé est faut.
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Nous sommes bien d'accord, j'ai bel et bien parlé d'une réaction en chaîne à l'infini, ce qui ne me pose pas vraiment de problème (cf : déterminisme) ^ ^domisud a écrit :L'infini ne pouvant être atteint, la "réaction en chaîne" ne se terminera jamais. Ou alors dans un temps... infini
Pour déplacer tous les occupants d'une case, il FAUT qu'au moins une chambre soit vide ce qui est contraire au postulat de départ.
Dans l'expérience de pensée proposée par Hilbert, on peut très bien imaginer les locataires de la chambre 1 s'incruster dans la chambre 2, (cohabitation) dire aux locataires de la chambre 2 d'aller dans la chambre 3, etc. Le fait qu'il n'y ait pas de chambre vide serait alors comblé temporairement par cette cohabitation.
Je pense que la plupart des paradoxes vient du fait que l'on raisonne des essences mathématiques dans un cadre temporel et spatial. Soit on voit la structure de façon immanente et intemporelle (auquel cas le temps, le mouvement et la causalité sont impossibles, et là je te rejoins, il n'y a pas de paradoxe) ; soit on la voit de façon temporelle (avec toutes les branches qui en découlent comme la géométrie, la trigonométrie, la topographie, etc.), et là on est emmerdé dans ses applications les plus concrètes héhé
... soit on essaie de trouver d'autres paradigmes ; à savoir que les fondements des mathématiques font toujours l'objet de conférences en 2014, donc pas dit que la question se referme de sitôt ^ ^
- Kliban
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
La position intuitionniste/constructiviste rejoint il me semble assez bien le constat de domisud :
Pour rendre tout ça un brin plus concret, voilà comment on pourrait raisonner, je pense, en adoptant le point de vue axiomatique (sachant que je ne remonte pas aux axiomes eux-même, ça serait... pas irréalisable, mais fort fastidieux).
En gros : chaque client a un numéro, de même que chaque chambre. Ces numéros sont des entiers. Allouer une chambre à un client, c'est disposer d'une fonction biunivoque Chambre : n° Client ---> n° Chambre donc de N dans N. Pour faire simple, on peut supposer que Chambre(n) = n : le client n° n est dans la chambre n. Ce qui nous donne l'état initial.
Bon. Maintenant on a un client qui se pointe. C'est une nouvelle cliente. Appelons-la -1. Pour faciliter. On pourrait l'appeler "a" ou "plafond", ça ne serait pas un problème. Là, ça va juste nous simplifier un peu le raisonnement et donc la la vie, sans qu'on perde en généralité.
Ce qu'on cherche, c'est une façon de caser Mme -1 dans l'hotel. Ca veut dir qu'on cherche une nouvelle fonction de répartition des clientes : une nouvelle fonction qui à un client associe sa chambre, Chambre', sauf que les clients, désormais, sont les anciens, dont les numéros sont dans N, auxquels s'ajoute la nouvelle cliente, Mme -1. Chambre' est donc une fonction qui à tout élément de N U {-1} , le nouvel ensemble de clients, associe une chambre, dans N, l'ensemble des chambres.
Ce que fait Hilbert, c'est de définir Chambre' comme : Chambre' (n) = Chambre(n) + 1 = n + 1
Autrement dit, le client n° n n'est plus dans la chambre n, mais dans la chambre suivante, n +1. Et la cliente -1 est dans la chambre... 0.
Ce qui est l'opération décrite par Hilbert, mais non pas comme opération de passage de l'état initial à l'état final, mais comme résultat. On ne dit pas comment on fait pour déplacer les clients, on montre le résultat de quand ils sont "déplacés" : on décrit leur n° de chambre. Dans cette façon de voir, il n'y a pas de déplacement de client, juste des comparaisons de configurations de clients dans des chambres.
Et c'est bien ça exactement qui oppose les constructivismes, qui veulent qu'on dise comment on construit la configuration, et les tenant d'un axiomatisme, qui s'en foutent. Et les deux opinions se tiennent, mais ne disent pas exactement la même chose de ce qu'est l'objet mathématique étudié.
- ou bien toutes les chambres sont occupées, et l'on ne peut pas construire un état où une chambre se libérerait sans qu'un des occupant la perde ;
- ou bien il n'est tout simplement pas possible de construire quelque chose come un hôtel infini dans lequel toutes les chambres sont occupées.
Pour rendre tout ça un brin plus concret, voilà comment on pourrait raisonner, je pense, en adoptant le point de vue axiomatique (sachant que je ne remonte pas aux axiomes eux-même, ça serait... pas irréalisable, mais fort fastidieux).
En gros : chaque client a un numéro, de même que chaque chambre. Ces numéros sont des entiers. Allouer une chambre à un client, c'est disposer d'une fonction biunivoque Chambre : n° Client ---> n° Chambre donc de N dans N. Pour faire simple, on peut supposer que Chambre(n) = n : le client n° n est dans la chambre n. Ce qui nous donne l'état initial.
Bon. Maintenant on a un client qui se pointe. C'est une nouvelle cliente. Appelons-la -1. Pour faciliter. On pourrait l'appeler "a" ou "plafond", ça ne serait pas un problème. Là, ça va juste nous simplifier un peu le raisonnement et donc la la vie, sans qu'on perde en généralité.
Ce qu'on cherche, c'est une façon de caser Mme -1 dans l'hotel. Ca veut dir qu'on cherche une nouvelle fonction de répartition des clientes : une nouvelle fonction qui à un client associe sa chambre, Chambre', sauf que les clients, désormais, sont les anciens, dont les numéros sont dans N, auxquels s'ajoute la nouvelle cliente, Mme -1. Chambre' est donc une fonction qui à tout élément de N U {-1} , le nouvel ensemble de clients, associe une chambre, dans N, l'ensemble des chambres.
Ce que fait Hilbert, c'est de définir Chambre' comme : Chambre' (n) = Chambre(n) + 1 = n + 1
Autrement dit, le client n° n n'est plus dans la chambre n, mais dans la chambre suivante, n +1. Et la cliente -1 est dans la chambre... 0.
Ce qui est l'opération décrite par Hilbert, mais non pas comme opération de passage de l'état initial à l'état final, mais comme résultat. On ne dit pas comment on fait pour déplacer les clients, on montre le résultat de quand ils sont "déplacés" : on décrit leur n° de chambre. Dans cette façon de voir, il n'y a pas de déplacement de client, juste des comparaisons de configurations de clients dans des chambres.
Et c'est bien ça exactement qui oppose les constructivismes, qui veulent qu'on dise comment on construit la configuration, et les tenant d'un axiomatisme, qui s'en foutent. Et les deux opinions se tiennent, mais ne disent pas exactement la même chose de ce qu'est l'objet mathématique étudié.
De main gauche à main droite, le flux des savoirs - en mes nuits, le règne du sans-sommeil - en mon coeur, ah, if only!, le sans-pourquoi des roses.
Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Oui, avec ma solution de faire cohabiter les locataires temporairement, j'étais bien plus dans une logique d'informaticien, que celle du mathématicien. Si cette solution peut très bien s'écrire sous la forme d'une boucle infernale (qui fera planter la bécane ^ ^), elle pourra difficilement être écrite en mathématiques, car il n'y a pas véritablement de nouvelles constructions, pas au sens où l'entendent les constructivistes.Kliban a écrit :La position intuitionniste/constructiviste rejoint il me semble assez bien le constat de domisud :
- ou bien toutes les chambres sont occupées, et l'on ne peut pas construire un état où une chambre se libérerait sans qu'un des occupant la perde ;
- ou bien il n'est tout simplement pas possible de construire quelque chose comme un hôtel infini dans lequel toutes les chambres sont occupées.
Merci beaucoup pour tes précisions ! C'est vraiment cool de ta part, d'autant plus que je ne suis pas très familier avec ces courants (je ne suis ni intuitionniste, ni constructiviste). Je ne les rejoins pas dans leurs conceptions, mais cela reste vraiment intéressant !Kliban a écrit :La position axiomatique n'a pas ce soucis. A partir du moment où l'on admet qu'il existe un ensemble contenant tous les entiers (on l'appelle N et on supposera qu'il commence à 0 - dans certains cas, on commence à 1, c'est sans réelle importance ici) et qu'il est licite de construire des fonctions sur cet ensemble, l'hôtel de Hilbert n'est plus problématique - mais reste paradoxal.
Pour rendre tout ça un brin plus concret, voilà comment on pourrait raisonner, je pense, en adoptant le point de vue axiomatique (sachant que je ne remonte pas aux axiomes eux-même, ça serait... pas irréalisable, mais fort fastidieux).
En gros : chaque client a un numéro, de même que chaque chambre. Ces numéros sont des entiers. Allouer une chambre à un client, c'est disposer d'une fonction biunivoque Chambre : n° Client ---> n° Chambre donc de N dans N. Pour faire simple, on peut supposer que Chambre(n) = n : le client n° n est dans la chambre n. Ce qui nous donne l'état initial.
Bon. Maintenant on a un client qui se pointe. C'est une nouvelle cliente. Appelons-la -1. Pour faciliter. On pourrait l'appeler "a" ou "plafond", ça ne serait pas un problème. Là, ça va juste nous simplifier un peu le raisonnement et donc la la vie, sans qu'on perde en généralité.
Ce qu'on cherche, c'est une façon de caser Mme -1 dans l'hotel. Ca veut dir qu'on cherche une nouvelle fonction de répartition des clientes : une nouvelle fonction qui à un client associe sa chambre, Chambre', sauf que les clients, désormais, sont les anciens, dont les numéros sont dans N, auxquels s'ajoute la nouvelle cliente, Mme -1. Chambre' est donc une fonction qui à tout élément de N U {-1} , le nouvel ensemble de clients, associe une chambre, dans N, l'ensemble des chambres.
Ce que fait Hilbert, c'est de définir Chambre' comme : Chambre' (n) = Chambre(n) + 1 = n + 1
Autrement dit, le client n° n n'est plus dans la chambre n, mais dans la chambre suivante, n +1. Et la cliente -1 est dans la chambre... 0.
Ce qui est l'opération décrite par Hilbert, mais non pas comme opération de passage de l'état initial à l'état final, mais comme résultat. On ne dit pas comment on fait pour déplacer les clients, on montre le résultat de quand ils sont "déplacés" : on décrit leur n° de chambre. Dans cette façon de voir, il n'y a pas de déplacement de client, juste des comparaisons de configurations de clients dans des chambres.
Et c'est bien ça exactement qui oppose les constructivismes, qui veulent qu'on dise comment on construit la configuration, et les tenant d'un axiomatisme, qui s'en foutent. Et les deux opinions se tiennent, mais ne disent pas exactement la même chose de ce qu'est l'objet mathématique étudié.
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Il y a des constructions possibles, mais bornées. Un constructiviste radical, qui refuserait totalement l'idée d'infini, pourrait raisonner ainsi (j'improvise total) :Kerzu a écrit :Oui, avec ma solution de faire cohabiter les locataires temporairement, j'étais bien plus dans une logique d'informaticien, que celle du mathématicien. Si cette solution peut très bien s'écrire sous la forme d'une boucle infernale (qui fera planter la bécane ^ ^), elle pourra difficilement être écrite en mathématiques, car il n'y a pas véritablement de nouvelles constructions, pas au sens où l'entendent les constructivistes.
- j'appelle hôtel un ensemble quelconque, mais fini et extensible de chambres.
- Si j'ai une configuration de clients dans un hôtel plein et que se présente un nouveau client :
- Je construis une nouvelle chambre dans mon hôtel - il est extensible, ce n'est pas gênant;
- J'y installe le nouveau client.
Mais évidemment, cela ne dit rien de l'idée d'infini - sinon qu'elle est impossible en acte, ce que prétendent précisément certains constructivistes, qui ne la voient que comme une idée régulatrice, voire fausse, de l'idée quant à elle opératoire (on peut en faire quelque chose) d'infini en puissance, ou d'indéfini, si l'on veut.
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Je confirme, je ne suis pas du tout constructivisme ! Je ne suis pas un mathématicien, mais je bosse sur des systèmes de pensée qui flirtent avec les mathématiques (par pour le gouvernement hein, c'est juste pour moi ^ ^). Et fait est que la notion d'infini est chère à mes yeux, car c'est elle, et elle seule, qui justifie mon appartenance à l'idéalisme. Pour dire ! Je sais, des révélations comme ça, un jeudi soir, sans prévenir, faut savoir les encaisser (lol).
ps : dès que j'aurai plus de temps, je développerai plus longuement, dans un autre thread, sur les maths, car sinon je vais faire un beau HS ^ ^
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Merci Kliban!
On sent que tu as pris un moment pour construire tes derniers messages d'explication, mais ca n'est pas pour rien parce que c'est fou comme les choses deviennent plus claires quand tu les dis.
On sent que tu as pris un moment pour construire tes derniers messages d'explication, mais ca n'est pas pour rien parce que c'est fou comme les choses deviennent plus claires quand tu les dis.
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Il me semble que c'est entendu, briseurs de rêves... En tant que simple réceptionniste, si après avoir indéfiniment attendu que mon hôtel se remplisse je demande à chacun de faire son sac et d'aller occuper la chambre n+1, je peux finalement loger un client supplémentaire dans mon hôtel prétendûment complet... 2 conceptions de l'infini suffisent à accepter ou rejeter ce paradoxe non?W4x a écrit :J'ai le sentiment que l'on commence à tourner en boucle autour de deux appréhensions du problème bien différentes.
Et encore, au-delà des conceptions de temps de déplacement des clients moyennant ou pas une vision informatique de la chose, je m'étonne que personne n'ait encore soulevé la conclusion que le problème était de toutes façon court-circuité, puisqu'une infinité de clients induirait une infinité d'êtres humains, donc une infinité de clones de chacun d'entre nous.
Par conséquent, à moins de numéroter indéfiniment chacun de nos clones (pour peu que l'on accède à cette idée), faire du dénombrement dans cet hôtel réarrangé devient vite la maison des fous, pour peu que l'un (ou qu'une infinité) de mes "moi" décide d'occuper un autre numéro que le n+1... ce qui finalement est équivalent au problème de départ, miaou.
Qu'il se présente un seul ou une infinité de nouveaux clients c'est la même chose : au lieu de dire "je peux toujours avoir un caillou de plus que ce que j'ai devant moi" il suffit de se dire "l'infinité des nouveaux seront des nombres impairs, l'infinité des anciens des nombres pairs".
C'est pas plutôt Peano?Kerzu a écrit :c'est Cantor qui a proposé les premiers axiomes comme fondation de N (l'ensemble des nombres entiers.
Merci de penser par avance aux profanes dans mon genre -_______-;Kerzu a écrit :ps : dès que j'aurai plus de temps, je développerai plus longuement, dans un autre thread, sur les maths, car sinon je vais faire un beau HS ^ ^
Mathematics is a game played according to certain simple rules with meaningless marks on paper. D.Hilbert
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
[mod="Tournesol"]Sujet nettoyé, merci de rester dans le sujet et de tenir compte des remarques des membres de l'équipe. Si le besoin de clarifier certaines choses ou de faire des remarques se fait sentir, ils sont tout à fait joignables par mp. Vous pouvez aussi utiliser le groupe "modérateurs globaux" pour joindre tous les modérateurs ou "jardiniers" pour joindre tous les jardiniers.
Merci.[/mod]
Merci.[/mod]
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Tant que tu peux numéroter les clients qui se présentent avec des entiers, pas de soucis : on peut toujours trouver un moyen de les caser, comme tu le suggères, en demandant à chacun des précédents de rejoindre la chambre dont le numéro est double du leur - ce qui fait un trajet costaux pour les clients de nombre élevé, faut prévoir des trous de ver pour faciliter les déplacementW4x a écrit :Qu'il se présente un seul ou une infinité de nouveaux clients c'est la même chose : au lieu de dire "je peux toujours avoir un caillou de plus que ce que j'ai devant moi" il suffit de se dire "l'infinité des nouveaux seront des nombres impairs, l'infinité des anciens des nombres pairs".
Là où ça se corse, c'est si tu ne peux pas numéroter les clients avec des nombres entiers.
Pour faire dans le magique (il faut bien, là), supposons qu'une vilaine fée, qui a décidé de faire capoter ton commerce d'hôtel infini, parce qu'en fait c'est une sourciaire, se dise bon, je vais lui en donner des clients *rire hystérico-pas-gentil*.
Alors elle trace un petit trait sur la terre avec du pipi de crotale décérébré et de la fiente de pigeon empaillé en chantant des canticadeubal. Ce qui ne sert à rien, c'est pour el folklore. Ce qui compte c'est le petit trait ente le point A et le point B. Là.
Et elle incante, hop "que chacun des points de la ligne suscite au monde un Klient nouveau, un Klient chaque fois unique, et qu'ils se mettent en marche vers l'hostel, le vialin hostel que je n'aime, et s'y enchambrent".
On se retrouverait avec une infinité de client - des Klients, en fait - qui se présenteraient au comptoir et essaieraient de prendre chambre.
La question est : peuvent-ils tous trouver une chambre différente.
Si l'on admet que cet infini-là veut bien dire quelque chose - que l'ensemble des points d'une ligne est bien un ensemble, une collection actuelle de points ! - alors la réponse est "non", et il revient à Cantor de l'avoir démontré. C'est une très belle démonstration, que je pourrai résumer si ça en intéresse quelques uns.
Or à chacun des points du segment on peut associer un nombre, mais un nombre réel, cette fois, du genre 1/pi ou 0,5000... Il suffit d'associer au point sa distance au point A, en posant que la distance de A à B vaut 1. Mais du coup, comme on ne peut pas ranger tous les points simultanément dans des chambres distinctes de l'hôtel, cela revient à dire qu'il est impossible de numéroter (par un entier, donc) chacun des réels compris entre 0 et 1. On en conclut qu'il y a plus de réels qu'il n'y a d'entiers : que l'infini des réels est plus grand que l'infini des entiers. Oo
Cela a, faut-il le dire, fait couler beaucoup, beaucoup d'encre...
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
Effectivement de par le contexte, l'intuition et l'énoncé nous suggèrent que les chambres sont numérotées selon ces bons vieux nombres entiers. Auquel cas on en conclut tout ce qui a été conclu dans les messages précédents : en acceptant la notion d'infinité (de nombres entiers) en tant que telle, on peut accéder à une autre compréhension du paradoxe et éventuellement le lever.
Si l'on est joueur et que l'on considère que "l'infini" dont il est fait mention dans l'énoncé est du type de celui des nombres réels, alors le paradoxe est vraiment atteint puisque la notion de client (même en infinité) n'est plus valable dans la mesure où l'on ne peut plus les numéroter par des nombres entiers. Pour faire court, les nombres réels sont infinis et indénombrables alors que les nombres entiers sont infinis mais dénombrables, ce qui sauve le truc dans la situation communément admise de l'hôtel.
C'est là où le vocabulaire manque aux mathématiques : le mot "infini" seul ne suffit plus, il faut préciser "dénombrable" ou "indénombrable", c'est une question de pouvoir leur coller ou non une étiquette (avec un nombre fini ou périodique de chiffres) dans le dos.
Pour tenter de représenter la situation, et le sur-paradoxe soulevé par Kliban :
1. en nombres entiers, on peut compter jusqu'à l'infini (si, admettez, soyez un peu imaginatif) : 1,2,3,4... aussi loin qu'on veut. En admettant qu'il soit immortel, on peut imaginer un réceptionniste d'hôtel comptant ainsi indéfiniment pour numéroter des chambres, et hop on obtient l'hôtel de l'énoncé et les conclusions qui s'en sont suivies. On peut, moyennant une entorse à la logique de la finitude des choses imaginer un déplacement infini d'un nombre infini de clients.
2. sauf qu'entre 2 nombres entiers, on sait qu'il existe des "nombres à virgule", et ce de manière furieusement infinie : entre 1 et 2 on peut trouver 1,5 ; entre 1 et 1,5 il existe 1,25 ; etc.
Autrement dit il suffit de "rajouter" des chiffres après la virgule pour entrevoir l'existence d'une nouvelle infinité de nombres "à virgule".
Pensez que l'on peut en rajouter autant que l'on veut derrière la virgule, et vous aurez un aperçu de la quantité ahurissante qu'il y en a. Si vous me suivez toujours je vous rassurerai en vous disant qu'on on peut toujours les numéroter par des nombres entiers, comme avant. C'est plus difficile à montrer mais c'est possible. Cette infinité est du même ordre que la précédente, celle des nombres entiers.
3. Mais d'où vient la nouveauté alors? Des horreurs fabriquées entre autres par les racines carrées et les cousins de 'pi'... ces nombres là sont pourtant partout mais ne peuvent être fabriqués par la méthode précédente. Ils font qu'on ne peut plus numéroter les gens par une simple étiquette avec une suite connue de chiffres après la virgule.
En d'autres termes il y a plusieurs types d'infini en mathématiques, certains plus infinis que d'autres, et pas de la même manière
Bigre... de quoi donner le vertige, bien au-dessus du paradoxe de Hilbert.
Si l'on est joueur et que l'on considère que "l'infini" dont il est fait mention dans l'énoncé est du type de celui des nombres réels, alors le paradoxe est vraiment atteint puisque la notion de client (même en infinité) n'est plus valable dans la mesure où l'on ne peut plus les numéroter par des nombres entiers. Pour faire court, les nombres réels sont infinis et indénombrables alors que les nombres entiers sont infinis mais dénombrables, ce qui sauve le truc dans la situation communément admise de l'hôtel.
C'est là où le vocabulaire manque aux mathématiques : le mot "infini" seul ne suffit plus, il faut préciser "dénombrable" ou "indénombrable", c'est une question de pouvoir leur coller ou non une étiquette (avec un nombre fini ou périodique de chiffres) dans le dos.
Pour tenter de représenter la situation, et le sur-paradoxe soulevé par Kliban :
1. en nombres entiers, on peut compter jusqu'à l'infini (si, admettez, soyez un peu imaginatif) : 1,2,3,4... aussi loin qu'on veut. En admettant qu'il soit immortel, on peut imaginer un réceptionniste d'hôtel comptant ainsi indéfiniment pour numéroter des chambres, et hop on obtient l'hôtel de l'énoncé et les conclusions qui s'en sont suivies. On peut, moyennant une entorse à la logique de la finitude des choses imaginer un déplacement infini d'un nombre infini de clients.
2. sauf qu'entre 2 nombres entiers, on sait qu'il existe des "nombres à virgule", et ce de manière furieusement infinie : entre 1 et 2 on peut trouver 1,5 ; entre 1 et 1,5 il existe 1,25 ; etc.
Autrement dit il suffit de "rajouter" des chiffres après la virgule pour entrevoir l'existence d'une nouvelle infinité de nombres "à virgule".
Pensez que l'on peut en rajouter autant que l'on veut derrière la virgule, et vous aurez un aperçu de la quantité ahurissante qu'il y en a. Si vous me suivez toujours je vous rassurerai en vous disant qu'on on peut toujours les numéroter par des nombres entiers, comme avant. C'est plus difficile à montrer mais c'est possible. Cette infinité est du même ordre que la précédente, celle des nombres entiers.
3. Mais d'où vient la nouveauté alors? Des horreurs fabriquées entre autres par les racines carrées et les cousins de 'pi'... ces nombres là sont pourtant partout mais ne peuvent être fabriqués par la méthode précédente. Ils font qu'on ne peut plus numéroter les gens par une simple étiquette avec une suite connue de chiffres après la virgule.
En d'autres termes il y a plusieurs types d'infini en mathématiques, certains plus infinis que d'autres, et pas de la même manière
Bigre... de quoi donner le vertige, bien au-dessus du paradoxe de Hilbert.
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Re: Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"
En effet !
Juste préciser que les nombres comme pi peuvent se construire comme nombres à chiffre après la virgule... mais qu'il faut alors considérer que ce sont eux-même comme de petits hôtels de Hilbert : il y a un nombre infini de chiffres après la virgule, sans séquence reconnaissable (sans suite pleinement connue, dit W4x) - c'est un peu plus complexe, que l'hôtel de Hilbert, mais équivalent.
C'est cette représentation - nombre écrits comme séquences de chiffres après la virgule (l'écriture en base décimale dont on a l'habitude) qui permet la démonstration du théorème de Cantor que j'évoquais plus haut et que le vocabulaire introduit par W4x permet de résumer en : infini dénombrable < infinis non dénombrables (oui, un pluriel : il y en a... une infinité au moins dénombrable de ces infinis non dénombrables vertige indeed).
Juste préciser que les nombres comme pi peuvent se construire comme nombres à chiffre après la virgule... mais qu'il faut alors considérer que ce sont eux-même comme de petits hôtels de Hilbert : il y a un nombre infini de chiffres après la virgule, sans séquence reconnaissable (sans suite pleinement connue, dit W4x) - c'est un peu plus complexe, que l'hôtel de Hilbert, mais équivalent.
C'est cette représentation - nombre écrits comme séquences de chiffres après la virgule (l'écriture en base décimale dont on a l'habitude) qui permet la démonstration du théorème de Cantor que j'évoquais plus haut et que le vocabulaire introduit par W4x permet de résumer en : infini dénombrable < infinis non dénombrables (oui, un pluriel : il y en a... une infinité au moins dénombrable de ces infinis non dénombrables vertige indeed).
De main gauche à main droite, le flux des savoirs - en mes nuits, le règne du sans-sommeil - en mon coeur, ah, if only!, le sans-pourquoi des roses.