Mathématiques: Le paradoxe de "L'hôtel de Hilbert"

[butterfull]

Je prie en préambule de ce message les mathématiciens chevronnés de me pardonner pour les approximations que je suis susceptible de faire, mes connaissances en la matière étant pour le moins limitées.

Je me pose des questions sur le paradoxe dit de l'hôtel infini de Hilbert. Le voici:

Un hôtel imaginaire possède un nombre infini de chambres, toutes occupées, numérotées de 1 à +infini. Un touriste arrive et demande une chambre. Pas de problème dit l'aubergiste, et il demande à l'occupant de la chambre 1 d'aller dans la chambre 2, à l'occupant de la chambre 2 d'aller dans la chambre 3, etc. Ainsi la chambre 1 est libre pour le touriste et l'hôtel est à nouveau occupé.

Plus tard arrive un bus rempli d'une infinité de nouveaux touristes ayant tous besoin d'une chambre eux aussi. Pas de problème dit l'aubergiste. Il demande à l'occupant de la chambre 1 d'aller dans la chambre 2, à l'occupant de la chambre 2 d'aller dans la chambre 4, à l'occupant de la chambre 4 d'aller dans la chambre 6, etc. Ainsi, les chambres 1,3,5 etc. sont libres et l'hôtel est à nouveau occupé.



En suivant ce modèle, on peut en théorie placer une infinité de personnes dans un hôtel comportant une infinité de chambres, et cependant il est toujours complet.

Il semble d'après cet exemple que les propriétés d'un ensemble infini de nombres sont bien différentes de celles d'un ensemble fini de nombres. Cependant, il me semble que tout ensemble mathématique est infini et les seuls exemples d'éléments dénombrables sont des exemples "physiques", des objets du mondes que l'on compte, par exemple des chambres d'hôtels dans un hôtel réel.

Maintenant la question que je me pose, et elle est sûrement très naïve, c'est que si l'on prend les séquences mathématiques en abstraction, c'est à dire si l'on considère des séquences de nombres de type -l'infini à +l'infini, puisque c'est infini (j'imagine ça comme une boucle) alors le 1 peut prendre la place du 2, le deux peut prendre la place du 3, etc. S'il n'y a pas de limites, comment est-il possible que les nombres gardent leurs propriétés? Comment le 1 peut-il être 1, le deux être 2, etc.

Si on transpose le problème à une infinité d'éléments dénombrables, par exemple une séquence infinie de boules (ou de n'importe quoi de physique), j'arrive à comprendre qu'il y en ait une infinité et que chacune d'elle demeure "ce qu'elle est", c'est à dire cette boule et pas une autre.
Mais pour les nombres, je n'arrive pas à voir de propriétés intrinsèques qui les distinguent dans le cadre d'une séquence infini et abstraite.

Des idées? Des réponses? Je serais ravie qu'on m'éclaire un peu sur ces concepts que j'ai beaucoup de mal à comprendre.

[maxmomo]

Je ne suis pas sûr mais il me semble que tu confonds la nature cardinale et la nature ordinale d'un nombre.
Le cardinal représente une quantité, l'ordinale représente un emplacement dans la suite des nombres.
Quand on dit la chambre numéro 8, il n'y a qu'une chambre. Passer d'une chambre à l'autre ne change pas ce fait. Il n'y a toujours qu'une chambre qui suit une autre chambre etc...

[Miss dans la lune]

Dans cet exemple, chaque chambre est une unité, le chiffre ou nombre qui lui est attribué n'a pas la valeur de ce qu'il représente, c'est son ptit nom "chambre n°1..." (d'ailleurs c'est des chambres de 1 à +l'infini, donc intellectuellement plus envisageable. Dans le sens - l'infini, la chambre n°-x, ne me pose pas de problème non plus remarque, si la chambre reste "une unité"; si c'est une chambre en miroir là ça se complique; quoique.)

Pour ce qui est de la propriété,de la valeur des nombres, c'est notre référentiel mathématique, ils n'ont que la propriété qu'on leur attribue. Ça dépend si l'on parle d'une casserole, d'une année lumière, d'une force... C'est juste un outil.
Un matheux dans la salle? (histoire de nous torturer un peu plus...)

(ah on vient de poster avant moi, bon j'envoie quand même...)

[Miss dans la lune]

( 31 minutes de plus pour dire la même chose en moins bien, je vais ptre pas passer le test finalement )

[W4x]

Il semble d'après cet exemple que les propriétés d'un ensemble infini de nombres sont bien différentes de celles d'un ensemble fini de nombres. Cependant, il me semble que tout ensemble mathématique est infini et les seuls exemples d'éléments dénombrables sont des exemples "physiques", des objets du mondes que l'on compte, par exemple des chambres d'hôtels dans un hôtel réel.

Tout ensemble mathématique n'est pas forcément infini, notamment comme tu le dis dès lors que l'on choisit de représenter un ensemble dénombrable, dans un contexte physique. Pour "mathématiser" la représentation d'un tel ensemble, il suffit de coller un numéro dans le dos de chaque élément, et hop on a un ensemble mathématique fini (il suffit de penser aux chambres d'un hôtel en vrai).
Certains ensembles infinis possèdent des propriétés similaires aux ensembles finis, notamment comme dans le cas de l'hôtel infini. Les ensembles dits "infinis dénombrables" peuvent voir leurs éléments numérotés de la même manière que les ensembles finis, sauf que la numérotation ne s'arrête jamais.

Par contre, la différence dans ce problème, et c'est ce qui fait l'objet du paradoxe, est que dans le cas d'un ensemble de cardinal infini, on peut trouver un sous-ensemble (le nombre infini de clients arrivant) qui a autant d'éléments que l'ensemble qui le contient (le nombre infini de chambres d'hôtel). Cela tient au caractère infini dénombrable des quantités considérées, qu'en réalité il n'y a pas "plus" de chambres d'hôtel que de clients qui arrivent.

Si on transpose le problème à une infinité d'éléments dénombrables, par exemple une séquence infinie de boules (ou de n'importe quoi de physique), j'arrive à comprendre qu'il y en ait une infinité et que chacune d'elle demeure "ce qu'elle est", c'est à dire cette boule et pas une autre.
Mais pour les nombres, je n'arrive pas à voir de propriétés intrinsèques qui les distinguent dans le cadre d'une séquence infini et abstraite.

Si j'ai bien saisi, j'ai peu de chose à ajouter à ce qu'à dit maxmomo. Si tu prends une quantité infinie de boules toutes identiques, il te suffit une nouvelle fois de les numéroter pour asseoir leur caractère "unique" comme tu le dis.
Pour ce qui est des nombres dans leur abstraction, je rejoins ce qu'a dit Miss dans la lune. C'est un référentiel mathématique, chacun a la valeur qu'on lui donne. Ou alors j'ai mal compris ta question...

[elsaada]

Oui merci, je crois que la confusion que j'ai faite venait de la différence entre ordinalet cardinal et que mon intuition-question de départ n'a rien à voir avec le paradoxe.

Pour ce qui est de la propriété,de la valeur des nombres, c'est notre référentiel mathématique, ils n'ont que la propriété qu'on leur attribue. Ça dépend si l'on parle d'une casserole, d'une année lumière, d'une force... C'est juste un outil.

J’ai du mal à concevoir l’ontologie des mathématiques, si tant est qu’il y en ait une. Tu dis que les nombres n’ont que la propriété qu’on leur attribue, mais ça voudrait donc dire qu’ils n’ont pas de propriétés intrinsèques ? Je sais que d’une certaine manière les mathématiques sont une construction, cependant quelque chose comme « 2+2=4 » est toujours vrai, comment est-ce possible ? Comment est-il possible que cet outil soit régi par des lois et des axiomes si les nombres n’ont pas en eux-mêmes de propriétés.

Kant classe les mathématiques dans les connaissances a priori, c'est-à-dire qu’il n’est ni possible ni nécessaire d’en justifier les propositions par l’expérience sensible. Cependant, si elles n’existent pas sur le plan de l’expérience (ou si elles sont indépendantes de l’expérience) alors sur quel plan existent-elles ?

[Le Ludoptère]

Si je peux me permettre, je vois pas trop où peut mener la recherche sur l'ontologie des objets mathématique. Enfin bon, ça c'est juste très personnel.

"2+2=4" est vrai car il découle d'une construction à partir d'axiome et de théorèmes par déduction (tac, construction des entiers, tac construction de l'addition, etc.)

Après, je comprend pas trop le "toujours vrai" que tu mets. Pourquoi "toujours" ? Parce que j'ai 2-3 exemples mathématiques où 2+2 ne font pas 4.

Et qu'est-ce que tu cherches en demandant sur quel plan ces connaissances (mathématiques) existent-elles ?

[Miss dans la lune]

J’ai du mal à concevoir l’ontologie des mathématiques, si tant est qu’il y en ait une. Tu dis que les nombres n’ont que la propriété qu’on leur attribue, mais ça voudrait donc dire qu’ils n’ont pas de propriétés intrinsèques ? Je sais que d’une certaine manière les mathématiques sont une construction, cependant quelque chose comme « 2+2=4 » est toujours vrai, comment est-ce possible ? Comment est-il possible que cet outil soit régi par des lois et des axiomes si les nombres n’ont pas en eux-mêmes de propriétés.

Kant classe les mathématiques dans les connaissances a priori, c'est-à-dire qu’il n’est ni possible ni nécessaire d’en justifier les propositions par l’expérience sensible. Cependant, si elles n’existent pas sur le plan de l’expérience (ou si elles sont indépendantes de l’expérience) alors sur quel plan existent-elles ?
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Quand tu dis (enfin Kant) qu'il n'est pas possible de justifier les propositions par l'expérience sensible: en effet, c'est l'expérience sensible à la base qui a justifié les mathématiques; On a décidé qu'il était plus simple de dire "j'ai 10 tomates", plutôt que :"j'ai une tomate, encore une tomate...et une tomate". On a décidé que 1+1=2, mais comment justifier ce que l'on a décrété arbitrairement. Donc il n'est pas possible de justifier les propositions par l'expérience sensible, puisque c'est le contraire.
je pense que les maths sont une prolongation de notre perception, ou plutôt une "traduction" de l'imperceptible, un langage.
Les maths n'ont pas été découverts, ils ont été crées.

(Il se pourrait qu'une civilisation extra-terrestre ne fonctionne pas du tout avec des mathématiques, parce qu'ils percevraient instinctivement et différemment ce qui nous demande à nous humains un effort intellectuel mathématico-physique pour comprendre notre environnement (en fonction toujours de notre perception et du référentiel qu'est le notre) etc.)

[Le Ludoptère]

Je repensais à ce sujet récemment, notamment sur l'histoire de la création/découverte des mathématiques, de leur dimension concrète. En effet, après avoir revu un peu mes pseudo-connaissances sur le sujet, je me suis rappelé que les mathématiques ont avant tout été élaborées par des artisans, des marins, des agriculteurs, des marchands etc. Bref, par des techniciens, et non par une caste de "philosophes-savants" aristotéliciano-pythagoriciens. C'est un savoir populaire et lié à la connaissance de la nature avant de devenir une espace de petit nuage que ses sont approprié la caste des "érudits".
Ainsi, l'utilisation des chiffre arabes et avec elle la possibilité d'avoir des formes algébriques plus simples, a été amenée par Léonard de Pise (aussi appelé Fibonacci), qui était un marchand qui a voyagé dans les pays arabes et qui a découvert l'utilité du truc. Ce n'était donc pas un académicien mu par un "euraka" de la connaissance abstraite, c'est un type qui bougeait et qui su reconnaitre la pertinence d'un outil pour résoudre des problèmes concrets.
Il y a aussi le fait que par "mathématiques", on ne sait pas trop si on parle de l'outil, de la constitution de l'outil, de l'utilisation de celui-ci, etc. Se poser la question de la nature des nombres, des choses et phénomènes mathématiques, est-ce que ce n'est pas analogue que de se demander ce qu'est un marteau, comment ça a été créé, comment on s'en sert, de quoi c'est composé, etc.

[Za]

Je plussoie maxmomo sur la différence cardinal/ordinal qui à mon avis aussi est la réponse à ta question elsaada.

Quant aux mathématiques, je dirais que la progression progressive de cet outil a suivi notre adaptation progressive au monde. La logique formelle et les maths accompagnent et aident notre meilleure assimilation, notre meilleure conceptualisation du réel au fil des siècles.
Ce qui est formidable, c'est que l'ontogénèse historique des mathématiques (qui est bien réelle !) et leur ontogénèse psychologique, individuelle, partagent d'admirables similarités... (promis, promis, bientôt je me lance sur le sujet)

[Kliban]

Ce que j'adore avec la théorie cantorienne (celle qui a formalisé les ensembles infinis et surtout une théorie des ordinaux et cardinaux infinis), c'est qu'on pourrait être tenté de l'appeler "théologique" - au sens où elle pourrait supposer un acte de foi, que certains ne sont pas prêts à endosser.

Le paradoxe de l'hôtel de Hilbert suppose qu'on puisse définir des choses qui sont des ensembles infinis et des opérations dans ces ensembles.

Il suppose que quand l'hôtelier demande au touriste 1 d'aller en 1, au touriste 2, d'aller en 2, .. au touriste n d'aller en n, etc. qu'on puisse arriver au bout de cet etc..

C'est l'opération que des mathématiciens refusent qu'elle soit une opération licite. Et c'est pourtant cette opération que fait Cantor quand il attribut un nombre à "tous les entiers". Ce faisant, il transgresse un interdit posé par Aristote : la définition d'un infini en acte.

On a deux façon de concevoir l'infini :

• En puissance, c'est l'indéfinie progression : on peut toujours effectuer une opération de plus. Si l'hôtelier a pu placer le touriste n, il n'aura aucune problème à placer le touriste n+1 !
• En acte, c'est l'infini là devant mes yeux : tous les touristes sont effectivement placés dans toutes les chambres (et l'on doit bien supposer que j'ai un moyen de le savoir, lié à l'algorithme de placement, par exemple, je passe).

Refuser l'infini en acte, c'est exiger que l'on puisse construire - en un nombre fini d'opérations, donc ! - ce dont on parle. Autrement dit, le etc. signifie : où que j'en sois du processus, je peux toujours effectuer une opération de plus pour passer au suivant. Mais surtout pas : je peux effectuer toutes les opérations.

Tous les paradoxes de l'infini viennent de ce que l'on considère qu'il y a des objets qui sont l'infini, et non pas uniquement des processus indéfinis. Attribuer un nombre à "tous les entiers" (ordinal omega, cardinal aleph₀) revient à considérer un infini en acte. Et ça, on pourrait bien penser que c'est un acte de foi (extrêmement pratique, cela dit : il permet de démontrer des théorèmes difficiles à démontrer sinon à un niveau de généralité suffisante).

Cela dit, on n'est pas obligé d'endosser cette thèse que les mathématiciens manipuleraient des objets constructibles. On peut considérer que ce qu'ils manipulent, ce sont des faisceaux de propriétés définies par des axiomes. Et c'est là la position de Hilbert.


Pour synthétiser, deux positions :

• Ceux qui pensent que tout objet mathématique doit pouvoir être construit à partir d'opérations élémentaires - la succession des nombres, les formes géométriques simples. Ils considèrent comme irrationnel, aberrant, non mathématique un "objet" qui ne pourrait l'être - ce n'est pas même un objet, en fait !
• Ceux qui pensent que tout objet mathématique n'est redevable que d'un faisceau d'axiomes. On peut donc trouver des objets constructibles au sens des précédents (les axiomes sont ceux de la constructibilité) et d'autres qui ne le sont pas (les axiomes incluent des objets ou des opérations infinis) - ce qui ne pose aucun problème tant que les axiomes n'entrainent pas de contradiction - sont logiquement sains.

Il n'y a pas de résolution possible du conflit entre ces deux-là : ils ne parlent en fait pas de la même chose - mais, dialogue de sourds obligent, refusent souvent de le reconnaître. Et ces deux mathématiques sont aussi riches et intéressantes l'une que l'autre. La première est fascinante, parce qu'elle peut produire des algorithmes absorbables par un ordinateur. La seconde a donné naissance aux programmes de géométrie les plus ébouriffants.

Alors théologique ? Non. Mais cognitivement challenging. Tout comme la mécanique quantique est troublante pour ceux qui cherchent à l'interpréter en termes d'objets pour nous facilement représentables (ça engendre plein de paradoxes...), les maths qui admettent l'infini le sont dès qu'on veut essayer de se représenter en tant qu'infinis les objets qu'ils manipulent (c'est là aussi plein de paradoxes - pas du tout les même !).

Note : C'est un peu off-topic par rapport à la question initiale, je reconnais - mais bon, j'attends par ailleurs, promise par *Za*, l'ontogénèse comparée des maths et de leur psychologie.

[sandrinef]

En suivant ce modèle, on peut en théorie placer une infinité de personnes dans un hôtel comportant une infinité de chambres, et cependant il est toujours complet.

Bon, il y a bien longtemps que je n'ai pas fait de math, mais pour moi un hôtel avec une infinité de chambres ne peut pas être complet(l'infini, ça s'arrête jamais, non? donc il y a toujours de la place...)
Promis, ce n'est absolument pas du second degré.

[Kliban]

Bon, il y a bien longtemps que je n'ai pas fait de math, mais pour moi un hôtel avec une infinité de chambres ne peut pas être complet(l'infini, ça s'arrête jamais, non? donc il y a toujours de la place...)
Promis, ce n'est absolument pas du second degré.

Hihi. C'est la première attitude que j'ai décrite dans mon pavé au-dessus - celle qui veut qu'on ne puisse accepter d'objets (mathématiques) qu'on ne pourrait construire en un nombre fini d'opérations élémentaires. Selon cette conception, "regrouper en une unité tous les entiers" n'est pas une opération élémentaire et ne peut être décomposé en un nombre fini d'opérations élémentaires - alors que "regrouper en une unité les 75 223 456 premiers entiers" peut se décomposer en 75 223 456 opérations élémentaires.

Ben ya des mathématiciens / logiciens qui admettent au contraire que "regrouper en une unité tous les entiers" est une opération élémentaire. Il en découle des tas de paradoxes (pas des faussetés, mais des trucs contraires à l'intuition), mais aussi des tas de façon plus rapides et élégantes de démontrer certains théorèmes - qui seraient aussi démontrables sans ça, mais de façon _beaucoup_ plus complexe. Faudrait que je vous trouve un exemple...

[TourneLune]

Me souviens plus très bien de mes cours de prépa mais avec les sommes de 0 à l'infini et les O et o on doit pouvoir résoudre mathématiquement parlant ce paradoxe qui cependant restera tjr illogique aux sens...
Les chambres, c'est jamais qu'une somme de 0 à l'infini, difficile de rédiger des formules sur un iphone.. Mais à mon avis les outils mathématiques existent...

Quant à 1+1=2, en fait 2 est défini comme 1+1, donc comme ca a été dit, on prend le problème à l'envers. Une pomme est une pomme mais si on décide d'appeler une pomme une poire, ça ne change rien à l'affaire, juste que si on ne se met pas d'accord on ne se comprend pas.
On peut trouver que 2+2 ne font pas 4 si on se place dans un autre "dictionnaire" que celui qui est usuellement utilisé et qu'on omet tjr de préciser. On ne change pas pour autant la réalité des choses c.-à-d. le nombre de patates...
Dans un plus grand niveau d'abstraction, c'est pareil.

Les mathématiques ont certes commencés par des applications techniques et pratiques mais faut quand même avouer que sens qu'on rentre dans certains domaines, notamment la topologie, les ensembles, tout ca, les sens sont complètement dépassés et on ne peut plus compter sur eux.

Et là où c'est extraordinaire c'est que quand on laisse dérouler la logique les axiomes et les démonstrations, on arrive à des choses qui, plus tard, sont corroborées par le réel. Le sens ne précédé plus l'abstraction, celle-ci précède les sens et les dépassent, comme si on avait percé, de manière infime, le langage de l'univers.

Si on rencontrait une civilisation ET, il est fort probable que les mathématiques seraient le seul langage possible...

[Kliban]

Me souviens plus très bien de mes cours de prépa mais avec les sommes de 0 à l'infini et les O et o on doit pouvoir résoudre mathématiquement parlant ce paradoxe qui cependant restera tjr illogique aux sens...
Les chambres, c'est jamais qu'une somme de 0 à l'infini, difficile de rédiger des formules sur un iphone.. Mais à mon avis les outils mathématiques existent...

En fait, pour utiliser les "sommes" infinies (ce ne sont pas des sommes algbriques, d'où les guillemets) et les notations O et o, il faut pouvoir

• disposer d'une notion de fonction - qu'est-ce qu'on additionne ?
• définir une notion de limite au voisinage de l'infini - la somme des trucs quon additionne tend vers une valeur - est aussi près que l'on veut d'une valeur - quand on tend vers l'infini. Il faut donc une topologie.

On ne peut pas faire ça directement avec le paradoxe de l'hôtel : qu'est-ce qu'on somme ? Et quelle topologie on définit au voisinage de l'infini ?

Et surtout, quand bien même on disposerait de ces définitions, il me semble que cela ne résoudrait pas le problème que j'évoquais plus haut :

• Est-ce que la somme va jusqu'à l'infini, auquel cas on a un infini actuel ?
• Est-ce qu'on ne peut considérer que des sommes finies, quitte à montrer qu'on peut les rendre aussi proche que possible d'une unique valeur à condition de disposer d'assez de termes dans la somme ? Et c'est la définition d'une limite en n'usant que d'une infinité potentielle (jamais atteinte en tant qu'infini).

Quant à 1+1=2, en fait 2 est défini comme 1+1, donc comme ca a été dit, on prend le problème à l'envers. Une pomme est une pomme mais si on décide d'appeler une pomme une poire, ça ne change rien à l'affaire, juste que si on ne se met pas d'accord on ne se comprend pas.
On peut trouver que 2+2 ne font pas 4 si on se place dans un autre "dictionnaire" que celui qui est usuellement utilisé et qu'on omet tjr de préciser. On ne change pas pour autant la réalité des choses c.-à-d. le nombre de patates...
Dans un plus grand niveau d'abstraction, c'est pareil.

Oui et non. Ce ,'est pas qu'une question de dictionnaire. "2" est le nom de quelque chose, par exemple. D'une classe d'équivalence de tous les ensembles dont on peut apparier les objets deux à deux avec l'ensemble foré de {ma main droite, ma main gauche}. C'est bien conventionnel, parce que 'est un nom. Mais l'objet désigné par ce nom a une définition.

Pour 2+2 = 4, c'est aussi vrai, dans le dictionnaire des nombres entiers - donc non limité quand on part de 0 fers les entiers positifs. 4 est la classe d'équivalence, par exemple, des ensembles de choses qu'on peut apparier deux à deux avec {mes mains, mes pieds}.
Mais 2+2 = 4 n'est plus vrai si la grammaire - plus que le dictionnaire - est celle des entiers modulo 3 - deux entiers modulo 3 sont dits égaux, dès que leur reste par la division par 3 sont égaux, par exemple 3 "=" 0 et 2 "=" 17 (on devrait écrire 2=17 [3], en fait). Parce que là on a 4 = 1 et donc 2+2 = 1 : 4 ne peut pas représenter, dans cette grammaire, ce qu'il représentait dans la grammaire des entiers en général.

Si on rencontrait une civilisation ET, il est fort probable que les mathématiques seraient le seul langage possible...

Je ne suis pas très sûr, pour ma part - mais on peut en discuter longuement. Nos mathématiques dépendent énormément :

• de nos capacités à dénombrer - le concept de nombre entier,
• de nos perceptions géométriques - les formes élémentaires, parallélisme euclicien, cercle, etc.,
• de nos capacités d'anticipation - les formes élémentaires de la probabilité (même si notre esprit est un assez mauvais estimateur de probabilité.

Savoir quel type de système évolutionnaire est susceptible de donner naissance à ces types d'objets dans une espèce intelligente est un problème plus qu'ouvert - et fascinant. Mais je ne suis pas certain que tout système évolutionnaire donne naissance aux mêmes mathématiques - il faudrait le démontrer.

(Exemple : retourner aujourd'hui chez les Athéniens du IVè siècle av EC et essayer de communiquer sur la base de nos mathématiques serait probablement voué à l'échec !)

[TourneLune]

Me souviens plus très bien de mes cours de prépa mais avec les sommes de 0 à l'infini et les O et o on doit pouvoir résoudre mathématiquement parlant ce paradoxe qui cependant restera tjr illogique aux sens...
Les chambres, c'est jamais qu'une somme de 0 à l'infini, difficile de rédiger des formules sur un iphone.. Mais à mon avis les outils mathématiques existent...

En fait, pour utiliser les "sommes" infinies (ce ne sont pas des sommes algbriques, d'où les guillemets) et les notations O et o, il faut pouvoir

• disposer d'une notion de fonction - qu'est-ce qu'on additionne ?
• définir une notion de limite au voisinage de l'infini - la somme des trucs quon additionne tend vers une valeur - est aussi près que l'on veut d'une valeur - quand on tend vers l'infini. Il faut donc une topologie.

On ne peut pas faire ça directement avec le paradoxe de l'hôtel : qu'est-ce qu'on somme ? Et quelle topologie on définit au voisinage de l'infini ?

Mes notions sont vieilles alors forcément, c'est floux, mais je pense que de cet exemple concret, on peut justement modéliser une topologie et les hypothèses de départ.
Nous sommes dans l'ensemble des réels et dans la topologie qu'on ne précise jamais jusqu'en terminale
Ce n'est peut-être pas les sommes et les O / o qu'il faut utiliser mais il me semble bien avoir bossé sur ce genre de "paradoxe" sans entrer dans les considérations que tu cites. Probablement les histoires d'ensemble dénombrable ou un truc du genre...

Et surtout, quand bien même on disposerait de ces définitions, il me semble que cela ne résoudrait pas le problème que j'évoquais plus haut :

• Est-ce que la somme va jusqu'à l'infini, auquel cas on a un infini actuel ?
• Est-ce qu'on ne peut considérer que des sommes finies, quitte à montrer qu'on peut les rendre aussi proche que possible d'une unique valeur à condition de disposer d'assez de termes dans la somme ? Et c'est la définition d'une limite en n'usant que d'une infinité potentielle (jamais atteinte en tant qu'infini).

Je ne sais pas où tu as vu ces notions, personnellement, on ne les a jamais abordées en prépa. Elle ont peut-être leur intérêt en "philosophie des maths" mais en mathématiques, concrètement, je ne vois pas où . (Encore une fois, mes connaissances sont limitées et en grandes parties oubliées )

Quant à 1+1=2, en fait 2 est défini comme 1+1, donc comme ca a été dit, on prend le problème à l'envers. Une pomme est une pomme mais si on décide d'appeler une pomme une poire, ça ne change rien à l'affaire, juste que si on ne se met pas d'accord on ne se comprend pas.
On peut trouver que 2+2 ne font pas 4 si on se place dans un autre "dictionnaire" que celui qui est usuellement utilisé et qu'on omet tjr de préciser. On ne change pas pour autant la réalité des choses c.-à-d. le nombre de patates...
Dans un plus grand niveau d'abstraction, c'est pareil.

Oui et non. Ce ,'est pas qu'une question de dictionnaire. "2" est le nom de quelque chose, par exemple. D'une classe d'équivalence de tous les ensembles dont on peut apparier les objets deux à deux avec l'ensemble foré de {ma main droite, ma main gauche}. C'est bien conventionnel, parce que 'est un nom. Mais l'objet désigné par ce nom a une définition.

Pour moi, et par construction, la définition est 1 + 1, concrètement, quand les types cités plus haut mettaient 2 cailloux côte à côte.

Pour 2+2 = 4, c'est aussi vrai, dans le dictionnaire des nombres entiers - donc non limité quand on part de 0 fers les entiers positifs.

Dans celui des entiers non positifs aussi, dans celui des réels aussi, bref, dans tous les ensembles intuitifs et utilisés quotidiennement. Après, bien sûr qu'ils existe autre chose, mais dans des conditions qui sont spécifiées et particulières aux matheux quand même

4 est la classe d'équivalence, par exemple, des ensembles de choses qu'on peut apparier deux à deux avec {mes mains, mes pieds}.

Là je vois pas trop le rapport par contre...

Mais 2+2 = 4 n'est plus vrai si la grammaire - plus que le dictionnaire - est celle des entiers modulo 3 - deux entiers modulo 3 sont dits égaux, dès que leur reste par la division par 3 sont égaux, par exemple 3 "=" 0 et 2 "=" 17 (on devrait écrire 2=17 [3], en fait). Parce que là on a 4 = 1 et donc 2+2 = 1 : 4 ne peut pas représenter, dans cette grammaire, ce qu'il représentait dans la grammaire des entiers en général.

Certes mais là tu as changé les règles implicites qui prévalent quand on ne les précise pas. (jusqu'à la terminale, exception faite des angles et des modulo Pi.

Si on rencontrait une civilisation ET, il est fort probable que les mathématiques seraient le seul langage possible...

Je ne suis pas très sûr, pour ma part - mais on peut en discuter longuement. Nos mathématiques dépendent énormément :

• de nos capacités à dénombrer - le concept de nombre entier,
• de nos perceptions géométriques - les formes élémentaires, parallélisme euclicien, cercle, etc.,
• de nos capacités d'anticipation - les formes élémentaires de la probabilité (même si notre esprit est un assez mauvais estimateur de probabilité.

Savoir quel type de système évolutionnaire est susceptible de donner naissance à ces types d'objets dans une espèce intelligente est un problème plus qu'ouvert - et fascinant. Mais je ne suis pas certain que tout système évolutionnaire donne naissance aux mêmes mathématiques - il faudrait le démontrer.

Sans doute pas sur la forme, les problèmes n'étant probablement pas abordés sous le même angle, dans le même ordre etc...
Mais si, comme on le constate actuellement, les mathématiques arrivent à décrire l'Univers, il est probable que ce soit la chose la plus en commun, ou la moins différente, si tu préfères, qu'on ait.

(Exemple : retourner aujourd'hui chez les Athéniens du IVè siècle av EC et essayer de communiquer sur la base de nos mathématiques serait probablement voué à l'échec !)

Si c'est pour demander où sont les toilettes, certainement ^^
En plus sérieux: oui, mais on a une culture très proche, une certaine connaissance de la langue et donc de bien meilleurs moyens de communications.

Avec une intelligence complètement différente, il me semble que les mathématiques seraient certainement la chose la moins distincte... Après, c'est une vue de l'esprit, rien de plus....Et pas vraiment constructive car elle ne mène à rien

[Kliban]

Nous sommes dans l'ensemble des réels et dans la topologie qu'on ne précise jamais jusqu'en terminale
Ce n'est peut-être pas les sommes et les O / o qu'il faut utiliser mais il me semble bien avoir bossé sur ce genre de "paradoxe" sans entrer dans les considérations que tu cites. Probablement les histoires d'ensemble dénombrable ou un truc du genre...

Voui. Dans l'exemple de Hilbert, on n'est pas dans les réels. On est bien dans les entiers (il n'y a pas de chambre 2,5, racine de 2 ou pi). Il s'agit en effet de dénombrabilité. On dit qu'un ensemble (infini) est dénombrable quand il a "autant" d'élément que les entiers - donc quand on peut associer à chaque élément un entier distinct. Ca n'est pas a priori une question de sommes infinies.

Je ne sais pas où tu as vu ces notions, personnellement, on ne les a jamais abordées en prépa. Elle ont peut-être leur intérêt en "philosophie des maths" mais en mathématiques, concrètement, je ne vois pas où . (Encore une fois, mes connaissances sont limitées et en grandes parties oubliées )

Ca ne sert en effet à rien en technique des maths, tu as tout à fait raison.

Mais des mathématiciens se sont voués des haines tenaces sur ces questions d'infinis en puissance et en acte - c'était à une époque où la mathématique se tournait vers la logique pour essayer de comprendre ses fondements, et savoir par exemple si on pouvait parler d'une fonction partout continue, nulle part dérivable, ou ce qu'était exactement un nombre.

Pour moi, et par construction, la définition est 1 + 1, concrètement, quand les types cités plus haut mettaient 2 cailloux côte à côte.

Pas de soucis . Tu peux le définir comme ça. C'est une définition par les ordinaux ("le successeur de 1"). La définition que je donnais (avec des classes d'équivalence) est une définition par les cardinaux. Ces deux définitions coïncident totalement sur les entiers ordinaires (dès qu'on ne parle pas des nombres infinis, donc).

Pour 2+2 = 4, c'est aussi vrai, dans le dictionnaire des nombres entiers - donc non limité quand on part de 0 fers les entiers positifs.

Dans celui des entiers non positifs aussi, dans celui des réels aussi, bref, dans tous les ensembles intuitifs et utilisés quotidiennement. Après, bien sûr qu'ils existe autre chose, mais dans des conditions qui sont spécifiées et particulières aux matheux quand même

Oui, mais ce sont ces conditions là qui permettent de représenter le monde physique - pas les ensembles intuitifs. Par exemple, les complexes, voire les quaternions. Peut-être les nombres p-adiques, mais je suis moins sûr.
La question de ce qu'est un nombre est assez complexe. Par exemple : un nombre réel n'est pas du tout intuitif. En fait, seuls les rationnels le sont au sens strict (on n'a pas besoin d'infinis pour en causer). Mais les réels... Le fait qu'on ait besoin des réels est un truc compliqué, historiquement lié à l'application des nombres à la géométrie (des longueurs, par exemple). Et il est impossible de définir l'ensemble des réels uniquement par des opérations algébrique, ce qui n'est pas le cas des rationnel que l'on peut construire algébriquement à partir des entiers. Les réels sont des nombres qu'on nous fait croire être intuitifs, alors qu'ils ne le sont pas vraiment - on a besoin de la notion d'infini pour causer des réels.

Sans doute pas sur la forme, les problèmes n'étant probablement pas abordés sous le même angle, dans le même ordre etc...
Mais si, comme on le constate actuellement, les mathématiques arrivent à décrire l'Univers, il est probable que ce soit la chose la plus en commun, ou la moins différente, si tu préfères, qu'on ait.

Le hic, c'est que je ne crois pas que les maths décrivent l'univers en soi. Ils ne décrivent que la façon dont nous comprenons l'univers. Ils sont très liés à nos modules cognitifs, eux-mêmes issus de l'évolution. Les maths restent un langage adapté à nos opérations mentales.

Mais je te rejoins sur ce point qu'il est oiseux d'essayer de répondre à cette question de savoir si toute autre forme de vie, au vu de ce qu'est notre univers, développerait des maths pour nous compréhensibles. Ce qui est intéressant ici, ce n'est pas tant tout cela (même si c'est rigolo !), c'est ce que nous soutenons spontanément : toi que les maths seraient ce qu'il y a de plus commode pôur communiquer avec une intelligence non-humaine, moi qui en doute. Je me demande bien à quoi d'autres - à quelles ressemblances et différences entre nos façon de penser/désirer - ces idées sont liées

(mais on est en train de dériver grave du sujet sur les infinis).

[TourneLune]

Très certainement à la façon dont on aborde les mathématiques ...

M'enfin je suis un peu trop rouillée pour répondre
Juste, les chiffres, hérités des arabes, n'ont pas été définis en pensant à l'infini mais bien en posant des cailloux ou des objets bien concrets devant soir. Alors cardinaux, ordinaux, chai pas, mais si tu veux mon opinion, ce sont des mots bien compliqués pour des concepts qui eux sont simples et j'aime bien la simplicité

Pour les réels... Chai pas non plus mais on a aussi besoin de la notion d'infini pour l'ensemble des entiers et ça n'empêche pas d'en avoir une perception intuitive, même si elle n'est pas complète.

2, 345326I524572836724586 ou même Pi, je peux en avoir une perception intuitive, même imparfaite. Après non.
Fin bon, hein, on peut blablater sur ce point, c'est pas tellement important non plus...

A vrai dire, pour moi il y a un peu trop de vocabulaire dans ta façon d'aborder les mathématiques, je préfère aux mots les concepts, libre à ceux qui veulent discutailler de le faire. Mais pour moi une démonstration est une démonstration, si les conditions sont bien posées, elle ne donne justement pas lieu à débat sans fin. Elle est juste ou elle est fausse, simplement...

Fin bon, c'est pas bien important non plus et pi ça m'a fait plaisir de causer mathématiques même s'il n'y en a finalement pas bcp dans nos échanges
Allez hop, ododo qu'il se fait tard!

[Kliban]

Oh !

Je suis plutôt d'accord : dans l'écrasante majorité des productions mathématiques, toutes ces considérations sur les nombres infinis ne servent à rien - on n'en a pas besoin pour faire de la mécanique quantique, de la résistance des matériau ou de la cosmologie. C'est inutile pour comprendre l'univers.

En interne des mathématiques - quand on ne se pose pas la question d'à quoi ça va servir - c'est moins simple. En mathématique, tout ne tient pas aux démonstrations, mais aussi aux définitions. Et la définition de ce qu'est un "ensemble" est tout sauf simple, dès qu'on commence à se demander s'il y a ou non des ensembles infinis.

Les ensembles finis, c'est facile, aucun problème : on pose des petits cailloux devant soi, en effet - il y a des techniques mathématiques précises pour le modéliser.

Les ensembles infinis c'est une autre paire de manche : on ne peut pas poser un ensemble infini devant soi comme ça (sinon faut me montrer un ensemble infini composé de cailloux, ou de leurs équivalents, je n'en ai jamais trouvé .

On est donc obligé de faire appel à une nouvelle procédure qui est : "regrouper tout".Techniquement : on définit les entiers en posant des cailloux, et puis on dit : il existe un ensemble qui contient tous ces entiers. Mais cet ensemble, on ne peut pas le construire. On ne peut tellement pas qu'on est obligé de poser un axiome pour le _définir_ : on dit qu'il existe quelque chose comme "l'ensemble regroupant tous les entiers". Là encore il y a des techniques mathématiques (de logique mathématique) pour dire cela de façon rigoureuse.

C'est là le début des trucs bizarres. Le premier étant qu'un ensemble infini a des sous-ensembles qui possèdent autant d'éléments que lui-même : c'est ce que raconte le paradoxe de l'immeuble de Hilbert. Par exemple, il y a autant d'entiers pairs que d'entiers tout court - puisque je peux numéroter chaque entier pair de façon biunivoque avec sa moitié (il existe une bijection entre l'ensemble des entiers pairs et l'ensemble des entiers).

Il y a des mathématiciens - des vrais, pas des philosophes ou des logiciens, hein ! mais des gens qui font, qui produisent des maths - qui refusent radicalement cela.

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Pour un exemple plus proche et simulant : sur YouTube, Wildberger (que je soupçonne fortement d'être Aspi ou dans ces zones-là) tient une position assez extrême sur ce sujet. Par exemple, pour lui, les nombres réels n'existent pas, parce que pour qu'ils puissent être dits exister, il faudrait pouvoir lister effectivement toutes les décimales : une intuition imparfaite n'est pour lui pas recevable - pas rigoureuse. Comme ces décimales sont en nombre infini et non reproductible (pas de période dans la succession des chiffres dès qu'on a un nombre qui n'est pas rationnel), c'est pour lui totalement impossible et un nombre réel - non rationnel, donc non rapport de deux entiers - est un aberration, ça n'existe totu simplement pas.

Ce qui est intéressant, c'est qu'il en a produit une façon de travailler avec es angles qui n'utilise plus ni sinus, ni cosinus, ni aucune de ces fonctions si compliquées à apprendre. Wildberger n'est pas un philosophe - il refuse avec insistance de discuter ses théories, se contentant de renvoyer à ses détracteurs l'éternelle demande : "montre moi un nombre réel non rationnel dont tu aurait énuméré toutes les décimales et je te croirai" - le St Thomas des math, exactement. Sa posture, idéologique, certes, lui sert à faire un certain type de maths, et à militer pour une réforme de leur enseignement.

Tout ça pour dire que la démonstration ne suffit pas. La définition est importante. De la définition découle ce qu'on pourra démontrer ou non. Et une définition, même intuitive, peut alors avoir des effets secondaires étranges :

• des paradoxes - comme c'est le cas avec l'hotel de Hilbert,
• plus grave : des contradictions, ce que je ne développe pas ici parce que c'est un peu hors sujet par rapport à la question des infinis.

[Tatou]

Hors-sujet

Alors cardinaux, ordinaux, chai pas, mais si tu veux mon opinion, ce sont des mots bien compliqués pour des concepts qui eux sont simples et j'aime bien la simplicité

Ça me rassure… J'essaye de suivre ce fil, et ce ne sont pas les concepts qui me perdent (enfin je crois), mais les mots. Très vite, la petite voix : «Tu vois, c'est pas juste un mauvais souvenir du aux tartes et à la terreur qu'exerçait le prof de maths au collège, non. T'es vraiment une quiche.»
Vous me fascinez.

[W4x]

J'ai le sentiment que l'on commence à tourner en boucle autour de deux appréhensions du problème bien différentes. Il me semble que l'idée de base était de considérer ce paradoxe par rapport à des notions élémentaires de dénombrement, ce que Tournesol résume par "je peux toujours rajouter un caillou de plus au tas qui est devant moi". Évidemment que l'on peut (et doit selon son niveau) aller plus loin dans la construction des ensembles de nombres, de leur cardinalité et leur infinitude, mais ce n'est pas à mon avis l'intention initiale. L'idée de sortir la grosse artillerie pour l'interpréter -et le "démonter"- court-circuite tout ce qui fait le charme du paradoxe.

Certainement que la définition des choses est importante mais il ne me semble pas qu'elle soit niée au profit de la démonstration seule*. Car une fois la définition posée, c'est quand même la démonstration qui fait foi. Après, selon le niveau où l'on place la définition, la compréhension de la démonstration est plus ou moins accessible c'est sûr. Mais ce n'est pas pour autant que ceux qui auront une définition du problème plus simpliste seront dans l'erreur, et que leur questionnement doit être résolu par une explication bien plus haut perchée... et c'est le sentiment que j'ai quant à la tournure de la discussion.

Si l'on remonte à la base du problème et à son créateur, David Hilbert était loin d'être un petit joueur (excusez-le du peu), et il ne fait aucun doute que dans son esprit face à ce problème il est facile de prendre une massue pour écraser une mouche : considérer les infinis en acte, appeler N l'ensemble de tous les nombres et hop. Le paradoxe est que N semble strictement inclus dans lui-même mais avec une batterie de notions puissantes c'est vite levé.
Ce qui est précisément intéressant dans ce genre de paradoxe (comme celui des jumeaux , le démon de Maxwell ou le chat de Schrödinger, et je mets du Wikipédia exprès), c'est que le "génie" qui les formule le fait justement par rapport aux questions que cela soulève si l'on se place d'un point de vue élémentaire. Et conserver ce point de vue et l'accessibilité du problème à des moins initiés me semble la motivation première de ces personnes, pour mettre en lumière tout le sel que recèlent ces problèmes. Stimuler la curiosité scientifique des "profanes" à travers un problème haut perché à l'énoncé volontairement simpliste, je trouve cela aussi nécessaire que la recherche fondamentale qui les résout pourtant d'un revers de main.

*l'axiome des deux points ne tient plus en géométrie sphérique par exemple, ce n'est pas pour autant qu'il faut balayer tout ce que l'on sait de la géométrie plane... évidemment que l'axiomatique d'Euclide est trop pauvre pour résoudre d'autres problèmes, mais on est là largement hors-sujet.

[Kliban]

Hors-sujet

Alors cardinaux, ordinaux, chai pas, mais si tu veux mon opinion, ce sont des mots bien compliqués pour des concepts qui eux sont simples et j'aime bien la simplicité

Ça me rassure… J'essaye de suivre ce fil, et ce ne sont pas les concepts qui me perdent (enfin je crois), mais les mots. Très vite, la petite voix : «Tu vois, c'est pas juste un mauvais souvenir du aux tartes et à la terreur qu'exerçait le prof de maths au collège, non. T'es vraiment une quiche.»
Vous me fascinez.

Le truc difficile dans l'histoire, c'est que les maths, ça touche non seulement à des modes de raisonnement, mais aussi à des _objets_ : un mathématicien, ça voit des objets abstrait. Le plus difficile en maths n'est pas en général l'accès au raisonnement, mais à l'objet. Toute ladifficulté quand on enseigne les math (je ne l'ai fait qu'en cours particulier), ce n'est pas qu'on sait faire quelque chose que l'élève ne sait pas, mais bien qu'on a accès à l'objet et pas elle.lui.

Pour accéder à l'objet, ou bien on passe par de la vulgarisation, quand elle est possible, et puis on se fade la formalisation mathématique à partir de cet embryon d'intuition. Ou bien on se coltine la théorie de front (comme on fait à l'école et jusqu'en classes prépa) et c'est à force de faire et refaire et re-refaire des exercices qu'on finit - laborieusement souvent - par voir apparaître l'objet - si on a du bol.

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C'est un peu abstrait "objet", dit comme ça. Il faudrait prendre des exemple et ce n'est pas facile, parce que ce qui ets simple pour moi risque de ne la pas être pour d'autres et réciproquement. Mais par exemple, "ensemble infini", ou "fonction continue" ou "sphère" pour moi, ce sont des objets, dotés de propriétés - mais aussi, de façon bien plus abstraite : "groupe", "espace de Hilbert" (rien à voir avec les histoire d'hôtel) ou "catégorie".

Bref, si on ne comprend pas en math, c'est en général qu'on n'a pas accès à l'objet (ou que la démonstration fait des tas de racourcis, ça peut arriver aussi). Il est donc essentiel, à mon sens, de dire "stop, je pige rien, aide-moi à me représenter de quoi on parle !". Et ça, ça peut prendre plus ou moins de temps - le vocabulaire si bizarre des maths peut parfois créer des interférences ; il y a un super petit bouquin là-dessus que je ne saurais trop conseiller : Anne Siéty, Qui a peur des mathématiques ?, j'en avais fait une revue sur Sens Critique, hop, c'est là.

[pixelvois]

Hors-sujet

les chiffres, hérités des arabes, n'ont pas été définis en pensant à l'infini mais bien en posant des cailloux ou des objets bien concrets devant soir.

Hérités des arabes, qui n'en sont pas eux-mêmes les inventeurs : à ce propos, je viens de poster sur le fil ad hoc un documentaire amusant, inventif et instructif, où Terry Jones ( ex Monty Python ) nous invite à un voyage en quête des origines du chiffre 1 et de l'arithmétique... Peu ou prou amateurs de maths, voire carrément réfractaires, ce petit film devrait en intéresser plus d'un !

[W4x]

Le truc difficile dans l'histoire, c'est que les maths, ça touche non seulement à des modes de raisonnement, mais aussi à des _objets_ : un mathématicien, ça voit des objets abstrait. Le plus difficile en maths n'est pas en général l'accès au raisonnement, mais à l'objet. Toute ladifficulté quand on enseigne les math (je ne l'ai fait qu'en cours particulier), ce n'est pas qu'on sait faire quelque chose que l'élève ne sait pas, mais bien qu'on a accès à l'objet et pas elle.lui.

C'est bien ce que je voulais dire. Et à mon sens l'appréhension du paradoxe (et non sa totale compréhension) réside pour un non-initié entre un aperçu de ces objets, leur réelle puissance et leur approche élémentaire issue du bagage mathématique de chacun. L'idée que je me fais de ce sujet (comme sur d'autres paradoxes) c'est de justement en discuter au niveau élémentaire en touchant du doigt les "objets" sans rentrer frontalement dedans. Sans quoi le paradoxe est levé et sa magie envolée, c'est dommage

[Kliban]

Ca y est j'ai compris ce que tu voulais dire - j'étais en train d'écrire un message pour dire que je comprenais pas. Merci W4x.

Hors-sujet

C'est très juste. Je suis allé trop vite (comme d'hab ) Sorry.

Edit : le plus rigolo/attristant est que j'ai essayé de donner ce goût de l'objet - alors que j'allais encore à ma propre vitesse. Je prie celles et ceux à qui j'aurais rappelé de mauvaises expérience de bien vouloir m'en excuser.