La position intuitionniste/constructiviste rejoint il me semble assez bien le constat de domisud :
- ou bien toutes les chambres sont occupées, et l'on ne peut pas construire un état où une chambre se libérerait sans qu'un des occupant la perde ;
- ou bien il n'est tout simplement pas possible de construire quelque chose come un hôtel infini dans lequel toutes les chambres sont occupées.
La position axiomatique n'a pas ce soucis. A partir du moment où l'on admet qu'il existe un
ensemble contenant
tous les entiers (on l'appelle
N et on supposera qu'il commence à 0 - dans certains cas, on commence à 1, c'est sans réelle importance ici) et qu'il est licite de construire des fonctions sur cet ensemble, l'hôtel de Hilbert n'est plus problématique - mais reste paradoxal.
Pour rendre tout ça un brin plus concret, voilà comment on pourrait raisonner, je pense, en adoptant le point de vue axiomatique (sachant que je ne remonte pas aux axiomes eux-même, ça serait... pas irréalisable, mais fort fastidieux).
En gros : chaque client a un numéro, de même que chaque chambre. Ces numéros sont des entiers. Allouer une chambre à un client, c'est disposer d'une fonction biunivoque Chambre : n° Client ---> n° Chambre donc de
N dans
N. Pour faire simple, on peut supposer que Chambre(
n) =
n : le client n°
n est dans la chambre
n. Ce qui nous donne l'état initial.
Bon. Maintenant on a un client qui se pointe. C'est une nouvelle cliente. Appelons-la -1. Pour faciliter. On pourrait l'appeler "a" ou "plafond", ça ne serait pas un problème. Là, ça va juste nous simplifier un peu le raisonnement et donc la la vie, sans qu'on perde en généralité.
Ce qu'on cherche, c'est une façon de caser Mme -1 dans l'hotel. Ca veut dir qu'on cherche une nouvelle fonction de répartition des clientes : une nouvelle fonction qui à un client associe sa chambre,
Chambre', sauf que les clients, désormais, sont les anciens, dont les numéros sont dans
N, auxquels s'ajoute la nouvelle cliente, Mme -1. Chambre' est donc une fonction qui à tout élément de
N U {-1} , le nouvel ensemble de clients, associe une chambre, dans
N, l'ensemble des chambres.
Ce que fait Hilbert, c'est de définir Chambre' comme : Chambre' (
n) = Chambre(
n) + 1 =
n + 1
Autrement dit, le client n°
n n'est plus dans la chambre
n, mais dans la chambre suivante,
n +1. Et la cliente -1 est dans la chambre... 0.
Ce qui est l'opération décrite par Hilbert, mais non pas comme
opération de passage de l'état initial à l'état final, mais comme
résultat. On ne dit pas comment on fait pour déplacer les clients, on montre le résultat de quand ils sont "déplacés" : on décrit leur n° de chambre. Dans cette façon de voir, il n'y a pas de déplacement de client, juste des comparaisons de configurations de clients dans des chambres.
Et c'est bien
ça exactement qui oppose les constructivismes, qui veulent qu'on dise comment on construit la configuration, et les tenant d'un axiomatisme, qui s'en foutent. Et les deux opinions se tiennent, mais ne disent pas exactement la même chose de ce qu'est l'objet mathématique étudié.
De main gauche à main droite, le flux des savoirs - en mes nuits, le règne du sans-sommeil - en mon coeur, ah, if only!, le sans-pourquoi des roses.
), cette discussion n'est pas complètement inaccessible pour les non-initiés (enfin quelques trucs restent en suspens hein, comme le O/o, ou le {doigt main pied 
- qui se présenteraient au comptoir et essaieraient de prendre chambre.